Логика и рост научного знания

40) может подсказать ответ на некоторые возможные

Как мы уже видели, степень универсальности и

возражения против теории Вейля, например на возра-

точности некоторой теории возрастает вместе со сте-

жение, согласно которому множество эллипсов, для

пенью ее фальсифицируемости. Таким образом, мы, по-

которых даны соотношения их осей и численный экс-

видимому, можем отождествить степень строгости тео-

центриситет, имеет в точности столько же параметров, рии, то есть степень, так сказать, жесткости тех огра-

как и множество окружностей, хотя второе множество, ничений, которые теория при помощи закона налагает

очевидно, является более «простым».

на природу, с ее степенью фальсифицируемости. Отсю-

Самое же важное состоит в том, что наша теория

да следует, что понятие степени фальсифицируемости

объясняет, почему простота ценится столь высоко. Что-

выполняет те самые функции, которые, по мнению

бы понять это, нам не нужно принимать ни «принцип

Шлика и Фейгля, должно выполнять понятие простоты.

экономии мышления», ни какой-либо другой принцип

Я могу добавить, что различение, которое Шлик хотел

провести между законом и случаем, также может быть

уточнено с помощью идеи степеней фальсифицируе-

*6 Как упоминалось в прим. *3 и *5, именно Джсффрис и Ринч

впервые предложили измерять простоту некоторой функции малочис-

мости. Оказывается, что вероятностные высказывания о

ленностью ее свободно заменимых параметров. Однако они вместе

последовательностях со случайными характеристиками, с тем предлагали приписывать более простой гипотезе большую

во-первых, имеют бесконечную размерность (см. [70, априорную вероятность. Таким образом, их взгляды могут быть вы-

разд. 65]), во-вторых, являются сложными, а не про-

ражены следующей схемой:

стыми (см. [70, разд. 58 и конец разд. 59] ) и, в-третьих, простота=малочисленность параметров —высокая

фальсифицируемы только при принятии специальных

априорная вероятность.

мер предосторожности (см. [70, разд. 68]).

Получилось так, что я исследовал эту проблему совсем с другой

Сравнение степеней проверяемости подробно обсуж-

стороны. Меня интересовала оценка степеней проверяемости, и я вна-

далось ранее, в разд. 31—40. Приводимые там примеры

чале обнаружил, что проверяемость можно измерить при помощи «ло-

гической невероятности» (которая в точности соответствует исполь-

и отдельные соображения можно легко перенести на

зуемому Джеффрисом понятию «априорной» невероятности). Затем

я обнаружил, что проверяемость и, следовательно, априорная неве-

и до сих пор придерживается воззрения, совершенно противоположного

роятность могут быть отождествлены с малочисленностью парамет-

моей теории простоты: он приписывает более простому закону боль-

ров, и только в конечном итоге я отождествил высокую степень про-

шую априорную вероятность, а не большую априорную невероятность, веряемости с высокой степенью простоты. Таким образом, мои взгля-

как это делаю я. (Таким образом, сопоставление взглядов Джеффри-

ды могут быть выражены такой схемой:

са и Нила может служить иллюстрацией к замечанию Шопенгауэра

проверяемость = высокая априорная

о том, что решение проблемы часто сначала выглядит как парадокс, невероятность = малочисленность параметров = простота.

а потом как трюизм.) Я хотел бы добавить здесь, что в последнее

время я значительно продвинулся в разработке моих взглядов на по-

Заметим, что две эти схемы частично совпадают. Однако в ре-

нятие простоты, при этом я старался усвоить, и, надеюсь, небезуспеш-

шающем пункте, когда речь заходит о вероятности и невероятности, но, кое-что из книги Нила.

они находятся в прямом противоречии друг с другом (см. также [70, прил. *VIII]).

186

187

такого же рода. Когда нашей целью является знание, ляется графическим представлением, в котором оси ко-

простые высказывания следует ценить выше менее

ординат не взаимозаменяемы (к примеру, ось χ может

простых, потому что они сообщают нам больше, потому

представлять атмосферное давление, а ось у — высоту

-что больше их эмпирическое содержание и потому что

над уровнем моря). По этой же причине преобразова-

'Они лучше проверяемы.

ния подобия также не играют здесь никакой роли. Ана-

логичные соображения применимы и к колебаниям си-

44. Геометрический образ и функциональная форма

нусоиды вокруг некоторой конкретной оси, к примеру

вокруг оси времени, и ко многим другим случаям.

Наша концепция простоты помогает нам разрешить

•ряд противоречий, которые до сих пор ставили под со-

45. Простота евклидовой геометрии

мнение полезность применения понятия простоты.

Одним из вопросов, занимавших важное место в

Немногие, я думаю, считают геометрический образ, большинстве дискуссий о теории относительности, был

•скажем, логарифмической кривой очень простым. Од-

вопрос о простоте евклидовой геометрии. При этом

нако закон, который может быть представлен с помощью

никто даже не пытался усомниться в том, что евклидо-

логарифмической функции, обычно считается простым.

ва геометрия как таковая проще, чем любая неевкли- ·

Аналогичным образом функция синуса, по общему мне-

дова геометрия с данной постоянной кривизной, не го-

нию, является простой, хотя геометрический образ си-

.воря уже о неевклидовых геометриях с переменной кри-

нусоиды, возможно, не является столь простым.

визной.

Трудности такого рода можно устранить, если мы

На первый взгляд кажется, что используемое при

вспомним о связи между числом параметров и сте-

таком сравнении понятие простоты не имеет почти ни-

пенью фальсифицируемости и проведем различение

чего общего со степенями фальсифицируемое™. Одна-

между формальной и материальной редукциями раз-

ко если высказывания о простоте различных геометрий

мерности. (Здесь могут помочь и соображения о роли

сформулировать в виде эмпирических гипотез, то обна-

инвариантности по отношению к преобразованиям си-

ружится, что два интересующих нас понятия — простота

стем координат.) Когда речь идет о геометрической

и фальсифицируемость — совпадают и в этом случае.

-.форме или об образе некоторой кривой, мы требуем от

Рассмотрим, какие эксперименты могут оказать нам

нее инвариантности по отношению ко всем преобразо-

помощь в проверке следующей гипотезы: «В нашем ми-

ваниям, принадлежащим к группе переносов. Мы мо-

ре необходимо использовать некоторую метрическую

жем также потребовать при этом инвариантности по

геометрию с таким-то и таким-то радиусом кривизны».

отношению к преобразованиям подобия, так как обыч-

Эта гипотеза допускает проверку только в том случае, но предполагается, что геометрическая форма или гео-

если мы отождествим некоторые геометрические сущ-

метрический образ не связаны с определенным местом

ности с определенными физическими объектами, на-

на плоскости. Следовательно, если мы рассматриваем

пример прямые линии ·— со световыми лучами, точки —

форму однопараметрической логарифмической кривой

с пересечением нитей и т. п. Если принять такое отож-

(y = logax), не связывая ее с определенным местом на

дествление (то есть соотносящее определение или, воз-

плоскости, то такая кривая будет зависеть от пяти па-