Логика и рост научного знания

эмпирических, или научных, гипотез (в нашем смысле), будут либо истинными, либо ложными в зависимости от

так как ее нельзя опровергнуть посредством фальсифи-

подставляемых значений (или их комбинаций). Так, в

кации ее следствий, которые также должны быть анали-

первом примере подстановка слова «медь» или «цинк»

тическими.

вместо χ дает истинное высказывание, в то время как

(2) Каким же образом аксиоматическую систему

другие подстановки дают ложные высказывания. То, можно интерпретировать как систему эмпирических, или

что я называю «высказыванием-уравнением», получает-

научных, гипотез? Обычный ответ на этот вопрос со-

ся в том случае, когда для некоторой пропозициональ-

стоит в том, что исходные термины аксиоматической си-

ной функции мы решаем допускать подстановку только

стемы нужно рассматривать не как неявно определен-

таких значений, которые превращают эту функцию в

ные, а как «внелогические константы». Например, истинное высказывание, Посредством такого высказы-

такие понятия, как «прямая» и «точка», встречающие-

вания-уравнения определяется некоторый класс допу-

ся в каждой системе аксиом геометрии, можно интер-

стимых значений системы, а именно класс тех значе-

претировать как «световой луч» и «пересечение световых

ний, которые ей удовлетворяют. Аналогия с математи-

лучей». При этом высказывания аксиоматической систе-

ческим уравнением здесь очевидна. Если наш второй

мы становятся высказываниями об эмпирических объ-

пример интерпретировать не как пропозициональную

ектах, то есть синтетическими высказываниями.

функцию, а как высказывание-уравнение, то он стано-

На первый взгляд такое понимание может пока-

вится уравнением в обычном (математическом) смысле.

заться вполне удовлетворительным. Однако оно приво-

Поскольку неопределяемые фундаментальные идеи

дит к трудностям, которые связаны с проблемой эмпи-

или исходные термины можно рассматривать как пу-

рического базиса. Совершенно неясно, как можно эм-

стые места, постольку аксиоматическая система оказы-

пирически определить понятия. Обычно в этом случае

вается системой пропозициональных функций. Однако

говорят об «остенсивных определениях», что означает, если мы решаем допускать для подстановки только та-

что определенное эмпирическое значение приписывает-

кие комбинации значений, которые ей удовлетворяют, ся понятию посредством соотнесения его с некоторыми

она превращается в систему высказываний-уравнений.

объектами, принадлежащими реальному миру. При этом

В качестве таковой она неявно определяет класс (до-

понятие рассматривается как символ этих объектов.

пустимых) систем понятий. Каждая система понятий, Однако очевидно, что посредством остенсивной ссылки

удовлетворяющая системе аксиом, может быть названа

на «реальные объекты» — скажем, посредством указа-

моделью этой системы аксиом.

ния на определенную вещь и произнесения некоторого

Интерпретация аксиоматической системы как систе-

имени или посредством навешивания на вещь некото-

мы (конвенций или) неявных определений разнозначна

рого ярлыка — можно фиксировать только индивидуаль-

принятию следующего решения: допустима подстановка

ные имена (или понятия). Но понятия, используемые в

в систему только моделей*18. В таком случае результа-

аксиоматической системе, должны быть универсальны-

том подстановки будет система аналитических выска-

ми именами, которые нельзя определить с помощью

зываний (так как она будет истинной по соглашению).

эмпирических признаков, указаний и т. п. Если их во-

Поэтому аксиоматическая система, интерпретированная

обще можно определить, то сделать это можно с по-

мощью других универсальных имен, в противном слу-

чае они останутся неопределяемыми. Таким образом,

*18 Сегодня я должен провести четкое различие между система-

ми объектов, удовлетворяющих некоторой системе аксиом, и систе-

некоторые универсальные имена должны остаться не-

мой имен этих объектов, которые можно подставлять в аксиомы

определяемыми, и в этом кроется трудность. Эти не-

(превращая их в истинные), и лишь первую систему называть «мо-

определяемые понятия всегда могут быть использованы

делью». В соответствии с этим я должен теперь писать так: «до-

пустима подстановка лишь имен тех объектов, которые образуют

в неэмпирическом смысле, описанном нами в (1), то

соответствующую модель».

есть так, как если бы они были неявно определяемыми

100

101

понятиями. Однако такое использование неизбежно

должно разрушить эмпирический характер системы.

тезы, а на наблюдаемый факт» [51, с. 115]. Однако

Я думаю, что эту трудность можно преодолеть лишь по-

«наблюдаемый факт», на который ссылается Мах, опи-

средством некоторого методологического решения.

сывается им с помощью следующего высказывания: Я буду следовать правилу не использовать неопреде-

«...скорость выравнивания разницы температур — при

ляемых понятий, которым даются только неявные опре-

условии, что эта разница невелика, — пропорциональна

деления. (Этот вопрос будет обсуждаться далее в

разд. 20.)

самой этой разнице», то есть общего высказывания, гипотетический характер которого достаточно очевиден.

Следует, по-видимому, добавить, что исходные по-

Даже некоторые сингулярные высказывания я буду

нятия некоторой аксиоматической системы, такой, как

называть гипотетическими, если из них можно вывести

геометрия, могут быть интерпретированы с помощью

следствия (с помощью теоретической системы) таким

понятий другой системы, например физики. Эта воз-

образом, чтобы фальсификация этих следствий могла

можность приобретает особое значение тогда, когда в

фальсифицировать эти сингулярные высказывания.

ходе развития науки одна система высказываний объ-

Фальсифицирующий вывод, который при этом имеет-

ясняется посредством новой и более общей системы

ся в виду, то есть схема, в которой фальсификация

гипотез, которая позволяет дедуцировать не только вы-

следствия влечет фальсификацию системы, из которой

сказывания первой системы, но и высказывания, при-

оно выведено, — это modus tollens классической логики.

надлежащие другим системам. В таких случаях фунда-

Его можно описать следующим образом*

ментальные понятия новой системы можно определить

1 9 .

Пусть р·—следствие системы t высказываний, кото-

с помощью понятий, которые первоначально были ис-

рая состоит из теории и начальных условий (для про-

пользованы в старых системах.

стоты я не буду проводить различия между ними). От-

ношение выводимости (аналитической импликации) p 18. Уровни универсальности.

из t символически можно записать так: «/—>-р», что

Modus tollens

читается: «р следует из t». Допустим, что p ложно; В рамках теоретической системы мы различаем вы-

это можно записать как р, что читается: «не-р»._

сказывания, относящиеся к разным уровням универ-

Если дано отношение выводимости t— >р и принято р, сальности. Высказываниями высшего уровня универ-

то мы можем вывести t (читается: «не-ί»), то есть

сальности являются аксиомы; из них могут быть выве-

считается, что t фальсифицирована. Обозначив конъюнк-