Логика и рост научного знания

ря, существует только один пустой класс.) Если мы

обозначим эмпирическое высказывание через е, тавто-

логию и метафизическое высказывание (к примеру, чисто экзистенциальное высказывание) соответственно

через t и т, то тавтологическим и метафизическим вы-

сказываниям можно будет приписать нулевую степень

фальсифицируемости и записать: Fsb(t)~Fsb(m)—0 и

Fsb(e)>0.

Можно сказать, что противоречивое высказывание

(которое обозначим через с) имеет в качестве класса

потенциальных фальсификаторов класс всех логически

возможных базисных высказываний. Это означает, что

с противоречивым высказыванием любое высказывание

сравнимо по степени его фальсифицируемости. Таким

0)

образом, мы имеем Fsb(c)>Fsb(e)>Q (см. также [70, прил.

"VII]). Если

мы произвольно положим

Fsb(c) = l, то есть произвольно припишем

ветствуют римским цифрам слева таким образом, что

число 1 степени фальсифицируемости противоречивого

римская цифра обозначает класс потенциальных фаль-

высказывания, то мы можем определить степень фаль-

сификаторов высказывания, помеченного соответствую-

сифицируемости эмпирического высказывания е при

щей арабской цифрой. Стрелки на диаграмме, отра-

помощи условия >Fsb(e)>Q. Согласно этой формуле, жающие степени проверяемости, идут от лучше про-

Fsb(e) всегда находится в интервале между 0 и 1, веряемых, в большей степени фальсифицируемых, вы-

исключая его границы, то есть в «открытом интервале», сказываний к высказываниям, которые не столь хоро-

ограниченном числами 0 и 1. Эта формула, исключаю-

шо проверяемы. (Следовательно, они в точности соот-

щая противоречие и тавтологию (как и метафизические

ветствуют стрелкам, отражающим отношение выводи-

высказывания), выражает одновременно и требование

мости.—См. разд. 35.)

непротиворечивости, и требование фальсифицируемости.

Из рисунка хорошо видно, что можно выделить

различные последовательности подклассов, например

34. Структура отношения включения классов.

последовательности I—II—IV или I—III—V, и что та-

Логическая вероятность

кие последовательности можно еще «уплотнить», вводя

новые промежуточные классы. Все такие последователь-

Мы провели сравнение степени фальсифицируемости

ности начинаются в данном конкретном случае с l n двух высказываний, воспользовавшись отношением

заканчиваются пустым классом, поскольку он включает-

154

155

ея в любой класс. (Пустой класс не может быть изоб-

бы высказывание, которое расположено ближе к проти-

ражен на нашем рисунке слева просто потому, что он

воречию (с), всегда получало большее число, чем выска-

является подклассом любого класса и поэтому должен

зывание, расположенное ближе к тавтологии ( t ) . По-

.присутствовать, так сказать, везде.) Если мы решим

скольку мы уже приписали числа 0 и 1 соответственно

отождествить класс 1 с, классом всех возможных ба-

тавтологии и противоречию, то нам следует приписы-

.зисных высказываний, то 1 станет противоречием (с), вать эмпирическим высказываниям выбранной последо-

а О (соответствующий пустому классу) будет тогда

вательности правильные дроби.

обозначать тавтологию ( i ) . Возможны различные пути, Конечно, я не собираюсь реально выделять и ис-

ведущие от 1 к пустому классу, или от (с) к ( t ) . Неко-

следовать какую-либо такую последовательность. Да и

торые из них, как можно видеть на правой части ри-

приписывание чисел высказываниям, принадлежащим

сунка, могут пересекаться друг с другом. Следователь-

такой последовательности, будет совершенно произ-

но, мы можем сказать, что структура таких отноше-

вольным. Тем не менее сам факт возможности припи-

ний представляет собой решеточную структуру («ре-

сывания дробных чисел эмпирическим высказываниям

шетку последовательностей, упорядоченных стрелкой, представляет огромный интерес, особенно потому, что

или отношением включения). Имеются узловые точки

он проливает свет па связь между степенью фальсифи-

(например, высказывания 4 и 5), в которых решетка

цируемости и понятием вероятности. Всякий раз, когда

частично связана. Отношение полностью связано толь-

мы можем сравнить степени фальсифицируемости двух

ко в универсальном классе и в пустом классе, соот-

высказываний, мы можем сказать, что высказывание, ветствующем противоречию (с) и тавтологии ( t ) .

являющееся менее фальсифицируемым, одновременно

Возможно ли расположить степени фальсифицируе-

является на основании своей логической формы более

мости различных высказываний на одной шкале, то

вероятным. Такую вероятность я называю*5 «логической

есть сопоставить различным высказываниям числа, ко-

вероятностью»6. Ее не следует путать с численной ве-

торые упорядочивали бы их по степени их фальсифи-

роятностью, которая применяется в теории азартных

цируемости? Конечно, мы не имеем возможности упо-

игр и статистике. Логическая вероятность высказыва-

рядочить таким образом все высказывания*

ния является дополнением его степени фальсифицируе-

4 , так как

если бы мы сделали это, то нам следовало бы произ-

мости, она увеличивается с уменьшением степени фаль-

вольно превратить несравнимые высказывания в сравни-

сифицируемости. Логическая вероятность 1 соответ-

мые. Однако ничто не мешает нам выбрать одну из по-

ствует степени фальсифицируемости 0, и наоборот.

следовательностей, принадлежащих данной решетке, и

Лучше проверяемое высказывание, то есть высказыва-

указать порядок этих высказываний при помощи чисел.

При этом мы должны действовать таким образом, что-

*5 Ныне (с 1938 г., см. [70, прил. *П]) я использую термин «аб-

солютная логическая вероятность», а не термин «логическая вероят-

*

ность», для того чтобы отличить ее от «относительной логической ве-

4 Я все еще убежден, что попытка сделать все высказывания

.сравнимыми при помощи введения метрики должна содержать произ-

роятности» (или «условной логической вероятности»), см. также

вольный, внелогический элемент. Это совершенно очевидно для слу-

[70, прил. «IV, *VII —*1Х].

чая высказываний типа: «Рост всех взрослых людей больше двух фу-

6 Этому понятию логической вероятности (обратному поняти ю

тов» (или «Рост всех взрослых людей меньше девяти футов»), то есть

проверяемости) соответствует введенное Больцано понятие общезна-

высказываний с предикатами, выражающими измеримое свойство.

чимости, в особенности когда он применяет это понятие к сравнению

Можно показать, что метрика содержания, или фальсифицируемости, высказываний. Так, Больцано описывает большие посылки в отно-

обязательно будет функцией метрики предиката, а последняя всегда

шении выводимости как высказывания меньшей общезначимости, должна содержать произвольный и, уж во всяком случае, внелогиче-

а следствия—· как высказывания большей общезначимости [4, т. II, ский элемент. Конечно, можно конструировать искусственные языки

§ 157, № 1]. Отношение этого понятия общезначимости к понятию

« заданной метрикой. Однако получающаяся при этом мера не бу-

вероятности объясняется Больцано в ,[4, т. II, § 147], ср. также ра-

дет чисто логической, сколь бы «очевидной» она нам ни казалась, по-