Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

m

_ƒ

:

q

_ƒ

(0)q

_ƒ

(0):

+

C

_G

⎡

⎣

Q²/ν²,g(ν)

⎤

⎦

α

_s

:

∑

G

_μν

^a

(0)G

_aμν

:+…

⎫

⎬

⎭

.

(21.6)

В § 15 мы рассматривали только первый член разложения C₀1. Это было сделано по двум причинам. Во-первых, основываясь только на размерном анализе, можно ожидать, что коэффициенты C_ƒ и C_G ведут себя следующим образом:

C

_ƒ

≈

(constant)

Q⁴

, C

_G

≈

(constant)

Q⁴

.

(26.2)

Во-вторых, во всех порядках теории возмущений

⟨:

q

q:⟩

₀

=0

,

⟨:G²:⟩

₀

=0 ,

(26.3)

Однако, как будет показано ниже (см. § 30 и последующие параграфы), физический вакуум не совпадает с вакуумом теории возмущений, а должен содержать ряд непертурбативных эффектов. Используем индекс vac для обозначения физического вакуума. Весьма вероятно, что в реальном физическом мире выполняются неравенства

⟨:

q

q:⟩

_vac

≠0

,

⟨:G²:⟩

_vac

≠0 ,

Вернемся к разложению (26.1). При Q²→∞ для любого n член [1/log (Q²/Λ²)]ⁿ убывает медленнее, чем члены вида (M²/Q²)^r, и, следовательно, превосходит их. Но могут существовать промежуточные области, где, например, члены (26.2) столь же важны, как и поправки второго порядка к коэффициенту C₀ , который является чисто пертурбативным членом. Таким образом, при практическом применении операторного разложения^40б) полезно рассмотреть все выражение (26.1) в целом.

^40б) Некоторые приложения можно найти в подобных основополагающих работах [229,230]

Результат для коэффициента C₀ нам уже известен:

C

₀

(Q²)/ν²;g(ν),ν

=

3

∑

^ƒ

Q

²

^ƒ

-1

12π²

⎧

⎨

⎩

log

-q²

ν²

+

3

4

⋅

4C_F

β₀

log log

-q²

ν²

+…

⎫

⎬

⎭

+

O

⎧

⎪

⎪

⎩

m

₂

^ƒ

Q

₂

⎫

⎪

⎪

⎭

.

(26.4)

Следует отметить, что в вычислениях § 15 пренебрегалось пертурбативными поправками, обусловленными массами кварков; им соответствуют члены O(m²_ƒ/Q²) в разложении (26.4). Может показаться необоснованным учет старших членов в разложении (26.2), в то время как членами вида m²_ƒ/Q² пренебрегают. Члены m²_ƒ/Q² действительно очень важны при расчетах процессов с участием тяжелых кварков c и b; их учет не представляет трудностей; пример такого расчета можно найти в § 28. Что касается легких кварков (u, d и s), то эффективная масса s-кварка m_s≈200 МэВ при Q²≥2 ГэВ². Поэтому такими поправками можно пренебречь; члены m²_ƒ/Q² при соответствующих значениях Q² много меньше других членов.

Коэффициенты и C_ƒ и C_G можно найти, используя стандартные методы вычислений; детали для типичного случая приведены в § 36 (см. (36.4) — (36.8)). Выражения для этих коэффициентов имеют вид [229, 230]

C

_ƒ

=

2

3

Q

²

^ƒ

1

Q⁴

 ,

C

_G

=(3

∑

Q

²

_ƒ

)

1

36πQ⁴

.

(26.5)

Важно понимать, что аномальные размерности комбинаций m:qq: и α_s:G²: в низшем порядке возмущений равны нулю, поэтому коэффициенты C_ƒ и C_G не зависят от параметра ν . Для величины m:qq: это можно доказать, объединяя результаты вычисления перенормировочного множителя Z_m (§ 14) с результатом вычисления множителя Z_M (§ 13). Для величины α_s:G²: соответствующее доказательство можно найти в работе [183, 243]. Исходя из сказанного, находим

Π

^μν

=

⎧

⎪

⎩

3

∑

^ƒ

Q

²

^ƒ

(-q²g

^μν

+q

^μ

q

^ν

)

⎫

⎪

⎭

×

⎧

⎨

⎩

-

1

12π²

⎡

⎢

⎣

log

Q²

ν²

+

3C_F

β₀

log log

Q²

ν²

+…+O

⎧

⎪

⎪

⎩

m

₂

^ƒ

Q

₂

⎫

⎪

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

+

2

3

⋅

m_ƒ⟨:q_ƒ(0)q_ƒ(0):⟩_vac

Q⁴

+

1

36π

⋅

α_s⟨:G²(0):⟩_vac

Q⁴

+O

⎧

⎪

⎩

M²

Q⁶

⎫

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

.

(26.6)

Обратимся теперь к рассмотрению процессов глубоконеупругого рассеяния. При изучении процедуры операторного разложения (§19) мы рассматривали операторы только низших твистов. Что касается процесса e⁺e^- -аннигиляции, то, по-видимому, здесь существуют области значений Q², в которых поправки от операторов высших твистов оказываются сравнимыми, например, с пертурбативными поправками второго порядка. Некоторые вклады от операторов высших твистов приводят к поправкам на массу мишени, другие — к поправкам, обусловленным кварковыми массами (см. [23, 143, 202]). Кроме того, существуют поправки от операторов высших твистов, приводящие к новым динамическим эффектам, связанным с "изначальным" поперечным импульсом кварков внутри нуклона или с конечностью размера нуклона. Учет операторов высших твистов представляет собой гораздо более трудную задачу, чем вычисления с учетом операторов только низших твистов. Например, можно доказать, что смешивание полей глюонов и ду́хов (19.2) для операторов низших твистов не происходит, но для операторов высших твистов имеет место. Кроме того, вследствие смешивания операторы высших твистов приводят к появлению новых, неизвестных матричных элементов, подобных коэффициенту A в выражении (19.11), только более сложных. Все это обусловливает тот факт, что способы учета операторов высших твистов еще только развиваются и, по-видимому, будут находиться в этой фазе достаточно долго. Пока выполнены только частные теоретические вычисления (см., например, [153]) и выдвинуты эвристические аргументы [90, 91]. Последние показывают, что вклад от операторов высших твистов, вероятно, имеет вид