Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

не зависит от квадрата 4-импульса Q². Применяя матрицу S(1+λ_s+ε) и полагая ε→0, получаем

^⃗

B

(Q²)=

S

(1+λ

_s

)

⎛

⎜

⎜

⎝

α

_-d+(1+λs)

^s

0

0

α

_-d-(1+λs)

^s

⎞

⎟

⎟

⎠

^⃗

b.

При этом собственные значения диагональной матрицы обозначены так, что выполняется условие d+>d-; следовательно, в ведущем порядке теории возмущений можно пренебречь членом α-d-s по сравнению с членом α-d+s и мы получаем окончательные соотношения

ƒ

_i

(x,Q²)

≈

^x→0

B

_0i

[α

_s

(Q²)]

^{-d₊(1+λ_s)}

x

^-λ_s

,

(23.20 а)

B_0V

B_0F

=

d₊(1+λ_s)-D₁₁(1+λ_s)

D₁₂(1+λ_s)

(23.20 б)

Константы B_0F , λ_s в рамках КХД вычислить не удается, хотя ожидается, что λ_s≈ 0,1 - 0,6.

Для несинглетных структурных функций имеем

ƒ

_NS

(x,Q²)

≈

^x→0

B

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d(1-λ)

x

^λ

(23.21)

Величина коэффициента B_0NS неизвестна; в силу того что параметр λ связан с точкой пересечения траектории Редже с осью координат, для него можно ожидать значения

λ=1-α

_p

(0)≈0.5 .

Следует отметить три важные особенности. Во-первых, в отличие от асимптотических формул в пределе x→1 поправки высших порядков не искажают результатов, полученных при x≈0; они сводятся просто к умножению формул (23.20) и (23.21) на 1+b₁α_s , где коэффициент известен. Во-вторых, так как ожидаемые значения параметров λ , λ_s и комбинаций d(1-λ), d₊(1+λ_s) положительны, при малых значениях x все структурные функции возрастают с увеличением квадрата 4-импульса Q² . Это свойство структурных функций также подтверждается экспериментом. Наконец, в-третьих, в отличие от случая x→1 при x≈0 глюонные функции распределения превышают синглетные функции распределения кварков. Действительно, правая часть (23.20 б) для ожидаемых значений параметра λ_s имеет величину в пределах 4 — 8.

§ 24. Сравнение с экспериментом; параметризации, согласующиеся с КХД, и точечноподобная эволюция структурных функций

Поскольку теоретические предсказания для моментов оказываются проще, чем для самих структурных функций, может показаться, что с экспериментом следует сравнивать предсказания КХД именно для моментов. Но это неудобно по следующим причинам. Во-первых, чтобы экспериментально получить значения моментов структурных функций в широком интервале значений 4-импульса Q² , необходимо провести детальные измерения структурных функций для целой последовательности близколежащих значений переменной x. Экспериментально это не всегда выполнимо. Но даже при наличии хороших экспериментальных данных возникают проблемы с вычислением высших моментов. Фактически вычисление высших моментов сводится к взятию интегралов от структурной функции ƒ с весом x^n-2. Основной вклад в такие интегралы дает область x≈1. Так как в этой области значения структурных функций очень малы, экспериментальные ошибки возрастают и даже в самых благоприятных случаях становятся неконтролируемыми при n≥6. Таким образом, теряется огромное количество экспериментальной информации. Указанные трудности послужили причиной для разработки других методов сравнения.

Можно также написать разумную параметризацию для структурной функции ƒ, которая содержала бы результаты квантовой хромодинамики и которую можно было бы согласовать с экспериментальными данными. Это не очень строгий метод, но он очень прост и приводит к явным аналитическим выражениям для структурных функций, которые затем можно использовать для описания других процессов (Дрелла - Яна, адрон-адронного рассеяния на больших p_t или рассеяния виртуальных адронов).

Такая параметризация впервые была введена в рассмотрение Фейнманом и Филдом [122] и имела вид

ƒ

_a

(x,Q²)=C

_a

x

^λ_a

(1-x)

^ν_a

(24.1 а)

или с учетом полюсов Редже

ƒ

_a

(x,Q²)=(C

_a

x

^λ_a

+C

_'

^a

x

^μ_a

)

(1-x)

^ν_a

(24.1 б)

Полагая параметры C, λ и ν постоянными, получим бьеркеновский скейлинг.

В работе [57] было отмечено, что, введя зависимость параметров λ и ν от константы связи α_s в виде

λ=λ

₀

+λ

₁

log α

_s

,

ν=ν

₀

+ν

₁

log α

_s

,

можно вычислить коэффициент C (используя правила сумм, изложенные в § 23) как известную функцию параметров λ₀ , λ₁ , ν₀ , ν₁ , α_s . Затем нужно потребовать, чтобы рассматриваемая параметризация удовлетворяла, с одной стороны, уравнениям КХД для моментов, а с другой — экспериментально измеренным значениям структурных функций ƒ. Эти требования позволяют фиксировать значения параметров λ и ν .

Следующий шаг сделали Лопец и Индурайн [194] (они учли ведущий и следующий порядки теории возмущений), отметившие, что для вычисления параметров λ₁, (который оказывается равным нулю) и ν₁ можно использовать результаты § 23, п. 2. Таким способом получают исключительно простые параметризации для структурных функций. Они точно удовлетворяют интегральным соотношениям известных правил сумм. Уравнениям же эволюции КХД эти параметризации точно удовлетворяют только в конечных точках x=0 и x=1, а при промежуточных значениях x погрешность составляет менее 1%. В ведущем порядке теории возмущений искомые параметризации имеют вид

ƒ

_NS

²

(x,Q²)

=

⎧

⎨

⎩

B

_0NS

[α

_s

(Q²)]

^-d(1-λ)

(x

^λ

-x

^μ_NS(α_s)

)

+

A

_0NS

[α

_s

(Q²)]