Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

Фиг. 16.2. Упругое столкновение одинаковых тел, движущихся с равными скоростями в противоположных направлениях, при раз­личном выборе систем координат.

Далее, напомним, что одно и то же столкновение выглядит по-разному, смотря по тому, как повернуты оси. Для удобства мы так повернем оси, чтобы горизонталь делила пополам угол между направлениями частиц до и после столкновения (фиг. 16.2,б). Это то же столкновение, что и на фиг. 16.2,а, но с повернутыми осями.

Теперь начинается самое главное: взглянем на это столкно­вение с позиций наблюдателя, движущегося на автомашине со скоростью, совпадающей с горизонтальной компонентой ско­рости одной из частиц. Как оно будет выглядеть? Наблюдателю покажется, что частица 1 поднимается прямо вверх (горизон­тальная компонента у нее пропала), а после столкновения падает прямо вниз по той же причине (фиг. 16.3, а).

Фиг. 16.3. Еще две картины того же столкновения (видимые из дви­жущихся автомашин).

Зато частица 2 движется совсем иначе, она проносится мимо с колоссальной скоростью и под малым углом (но этот угол и до и после столк­новения одинаков). Обозначим горизонтальную компоненту скорости частицы 2 через и, а вертикальную скорость части­цы 1 — через w.

Чему же равна вертикальная скорость utga частицы 2? Зная это, можно получить правильное выражение для импульса, пользуясь сохранением импульса в вертикальном направлении. (Сохранение горизонтальной компоненты импульса и так обеспечено: у обеих частиц до и после столкновения эта ком­понента одинакова, а у частицы 1 она вообще равна нулю. Так что следует требовать только сохранения вертикальной скорости utga.) Но вертикальную скорость можно получить, просто взглянув на это столкновение с другой точки зрения! Посмотрите на столкновение, изображенное на фиг. 16.3, а из автомашины, которая движется теперь налево со скоростью и. Вы увидите то же столкновение, но перевернутое «вверх ногами» (фиг. 16.3, б). Теперь уже частица 2 упадет и подскочит со скоростью w, а горизонтальную скорость и приобретет частица 1. Вы уже, конечно, догадываетесь, чему равна горизонтальная скорость utga; она равна wЦ(1-u²/c²) [см. уравнение (16.7)]. Кроме того, нам известно, что изменение вертикального им­пульса вертикально движущейся частицы равно

Dp=2m_ww

(двойка здесь потому, что движение вверх перешло в движение вниз). У частицы, движущейся косо, скорость равна v, ее компоненты равны uи wЦ(1-u²/c²), а масса ее m_v. Изменение вертикального импульса этой частицы Dр'=2т_vwЦ(1—u²/с²), так как в соответствии с нашим предположением (16.8) любая компонента импульса равна произведению одноименной ком­поненты скорости на массу, отвечающую этой скорости. Но суммарный импульс равен нулю. Значит, и вертикальные импульсы должны взаимно сократиться, отношение же массы, движущейся со скоростью w, к массе, движущейся со скоростью v, должно оказаться равным

m_w/m_v=Ц(1-u²/c²). (16.9).

Перейдем к предельному случаю, когда w стремится к нулю. При очень малых w величины v и u практически совпадут, m_w®m₀, a m_v®m_u. Окончательный результат таков:

Проделайте теперь такое интересное упражнение: проверьте, будет ли выполнено условие (16.9) при произвольных w, когда масса подчиняется формуле (16.10). При этом скорость v, стоящую в уравнении (16.9), можно найти из прямоугольного треугольника

Вы увидите, что (16.9) выполняется тождественно, хотя выше нам понадобился только предел этого равенства при w—>0. Теперь перейдем к дальнейшим следствиям, считая уже, что, согласно (16.10), масса зависит от скорости. Рассмотрим так называемое неупругое столкновение. Для простоты пред­положим, что из двух одинаковых тел, сталкивающихся с равными скоростями w, образуется новое тело, которое больше не распадается (фиг. 16.4,а).

Фиг. 16.4. Две картины неупругого соударения тел равной массы.

Массы тел до столкновения равны, как мы знаем, m₀/Ц(1- w²/c²). Предположив сохраня­емость импульса и приняв принцип относительности, можно продемонстрировать интересное свойство массы вновь образо­ванного тела. Представим себе бесконечно малую скорость и, поперечную к скоростям w (можно было бы работать и с ко­нечной скоростью и, но с бесконечно малым значением и легче во всем разобраться), и посмотрим на это столкновение, дви­гаясь в лифте со скоростью -u. Перед нами окажется картина, изображенная на фиг. 16.4, а. Составное тело обладает неиз­вестной массой М. У тела 1, как и у тела 2, есть компонента скорости и, направленная вверх, и горизонтальная компонента, практически равная w. После столкновения остается масса М, движущаяся вверх со скоростью u, много меньшей и скорости света и скорости w. Импульс должен остаться прежним; по­смотрим поэтому, каким он был до столкновения и каким стал потом. До столкновения он был равен p~=2m_wu, а потом стал р'=M_uu. Но M_uиз-за малости u, по существу, совпадает с М₀. Благодаря сохранению импульса

М₀=2m_w. (16.11)

Итак, масса тела, образуемого при столкновении двух одина­ковых тел, равна их удвоенной массе. Вы, правда, можете сказать: «Ну и что ж, это просто сохранение массы». Но не торопитесь восклицать: «Ну и что ж!», потому что сами-то массы тел были больше, чем когда тела неподвижны. Они вносят в суммарную массу М не массу покоя, а больше. Не правда ли, поразительно! Оказывается, сохранение импульса в столк­новении двух тел требует, чтобы образуемая ими масса была больше их масс покоя, хотя после столкновения эти тела сами придут в состояние покоя!

§ 5. Релятивистская энергия

Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными

Потом мы продвинулись дальше и обнаружили, что полная энергия тела равна полной его массе, умноженной на с². Про­должим эти рассуждения.

Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела М. Скажем, протон с нейтроном столкнулись, но все еще продолжают двигаться внутри М. Масса тела М, как мы обнаружили, равна не 2m₀, a 2m_w. Этой массой 2m_wснабдили тело его составные части, чья масса покоя была 2m₀; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то при нагревании газа и усилении движения молекул газ становится тяжелее. Но на самом деле такое рассуждение является совершенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и при этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части состав­ного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т. д.,— во всех этих случаях масса тела по-прежнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы рав­нозначно сохранению энергии, поэтому в теории относитель­ности нельзя говорить о неупругих соударениях, как это было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы два тела, столкнувшись, образовали тело с массой 2m₀, не отличающееся от того, какое получилось бы, если их медленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет. А теперь выясняется, что это невозможно: поскольку до столкновения у тел была кинетическая энергия, то составное тело окажется тяжелее; значит, это будет уже другое тело. Если осторожно приложить два тела друг к другу, то возникает тело с массой 2т₀; когда же вы их с силой столкнете, то появится тело с большей массой. А если масса отличается, то мы можем это заметить. Итак, сохранение импульса в теории относительности с необходи­мостью сопровождается сохранением энергии.