Фейнмановские лекции по физике. 2. Пространство. Время. Движение

v’=(v-u)/(1-uv’) (17-8)

Теперь подсчитаем, какой окажется энергия Е' по измерениям космонавта. Он, конечно, воспользуется той же массой покоя, но зато скорость станет v'. Он возведет v' в квадрат, вычтет из единицы, извлечет квадратный корень и найдет обратную величину

Энергия Е' просто равна массе m₀, умноженной на это выражение. Но нам хочется выразить энергию через нештри­хованные энергию и импульс. Мы замечаем, что

или

Мы узнаем в этом выражении знакомое нам преобразование

Теперь мы должны найти новый импульс р_х. Он равен энергии Е', умноженной на v', и так же просто выражается через Е и р:

и мы опять распознаем в этой формуле знакомое нам

Итак, преобразование старых энергии и импульса в новые энергию и импульс в точности совпало с преобразованием t и х в t' и х и t в х': если мы в уравнениях (17.4) будем писать Е каждый раз, когда увидим t, а вместо x: всякий раз будем под­ставлять р_х, то уравнения (17.4) превратятся в уравнения (17.10) и (17.11). Если все верно, то это правило предполагает добавочные равенства р'_у=-р_yи р'_z=р_z. Чтобы их доказать, надо посмотреть, как преобразуется движение вверх или вниз. Но как раз в предыдущей главе мы рассмотрели такое движение. Мы анализировали сложное столкновение и заметили, что по­перечный импульс действительно не меняется при переходе в движущуюся систему координат. Стало быть, мы уже убе­дились, что р'_у=р_уи p_z=p_z. Итак, полное преобразование равно

Таким образом, эти преобразования выявили четыре ве­личины, которые преобразуются подобно х, у, z, t. Назовем их четырехвектор импульса. Так как импульс — это четырехвектор, его можно изобразить на диаграмме пространства-времени движущейся частицы в виде «стрелки», касательной к пути (фиг. 17.4).

Фиг. 17.4. Четырехвектор импульса частицы.

У этой стрелки временная компонента дает энергию, а пространственные — тривектор импульса; сама стрелка «реальнее», чем один только импульс или одна лишь энергия: ведь и импульс, и энергия зависят от нашей точки зрения.

§ 5. Алгебра четырехвекторов

Четырехвекторы обозначаются иначе, чем тривекторы. На­пример, тривектор импульса обозначают р. Если хотят дать более детальную запись, то говорят о трех компонентах р_х,p_у, р_z; можно писать и короче р_i, оговаривая, что iпринимает три значения х, у и z. Для четырехвекторов мы будем при­менять похожее обозначение: будем писать р_m , а m. пусть заменяет собой четыре направления t, x, у, z.

Конечно, можно пользоваться любыми обозначениями. Не улыбайтесь, что мы так много говорим об обозначениях; учи­тесь изобретать их: в них вся сила. Ведь и сама математика в значительной степени состоит в изобретении лучших обозна­чений. Идея четырехвектора — это тоже усовершенствование обозначений с таким расчетом, чтобы преобразования было легче запомнить.

Итак, А_m — это общий четырехвектор, р_m — четырехимпульс, p_t — энергия, р_х— импульс в направлении х, р_y— в направ­лении у, p_z— в направлении z. Складывая четырехвекторы, складывают их соответствующие компоненты.

Если четырехвекторы связаны каким-то уравнением, то это значит, что уравнение выполняется для любой компоненты. Например, если закон сохранения тривектора импульса со­блюдается в столкновении частиц, т. е. сумма импульсов множе­ства взаимодействующих или сталкивающихся частиц по­стоянна, то это означает, что сумма всех компонент импульсов постоянна и в направлении х, и в направлении у, и в направ­лении 2. Сам по себе такой закон в теории относительности невозможен: он неполон; это все равно, что говорить только о двух компонентах тривектора. Неполон он потому, что при повороте осей разные компоненты смешиваются, значит, в закон сохранения должны войти все три компоненты. Таким образом, в теории относительности нужно дополнить закон сохранения импульса, включив в него сохранение временной компоненты. Абсолютно необходимо, чтобы сохранение первых трех компонент сопровождалось сохранением четвертой, иначе не получится релятивистской инвариантности. Четвертое урав­нение — это как раз сохранение энергии; оно должно сопровож­дать сохранение импульса для того, чтобы четырехвекторные соотношения в геометрии пространства-времени были спра­ведливы. Итак, закон сохранения энергии и импульса в че­тырехмерном обозначении таков:

или в чуть измененных обозначениях:

где i=l, 2, ... относится к сталкивающимся частицам, j=1, 2,... — к частицам, возникающим при столкновении, а m=x, у, z или t. Вы спросите: «А что по осям координат?» Это неважно. Закон верен для любых компонент, при любых осях.

В векторном анализе нам встретилось одно понятие — ска­лярное произведение двух векторов. Что соответствует ему в пространстве-времени? При обычных вращениях неизменной остается величина x²+y²+z². В четырехмерном мире таким свойством при преобразованиях обладает величина t²-х²-у²-z² [уравнение (17.3)]. Как можно это записать? Можно было бы, например, пользоваться значком наподобие

Штрих при S напоминает, что первый, «временной» член по­ложителен, а остальные три отрицательны. Эта величина одна и та же в любой системе координат, и можно назвать ее квадратом длины четырехвектора. Чему равен, например, квадрат длины четырехвектора импульса отдельной частицы?

Ответ: р²_t-р²_x-Р²_у-p²_z, или, иначе, Е²-р², потому что p_tэто и есть Е. Чему равно Е² -р²? Должно по условию получиться что-то, что одинаково в любой системе координат, в частности и в системе координат, которая движется вместе с частицей, так что частица в этой системе покоится. Но если частица неподвижна, значит, у нее нет импульса. Значит, у нее остается только энергия, совпадающая в этом случае с ее массой. Итак, Е²-р²=m²₀, т. е. квадрат длины четырехвектора импульса равен m²₀.