Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

Поле E'крышки вычисляется при условии, что движение за­рядов всюду в экране создает именно такое поле, которое гасит поле E_s на задней поверхности экрана. Определив движение зарядов, мы складываем поля излучения зарядов в крышках и находим поле в точке Р.

Напомним еще раз, что наша теория дифракции приближен­ная и справедлива в случае не слишком малых отверстий. Если размер отверстий мал, член E'крышки также мал и разность E'_стенки-E_стенки (которую мы считали равной нулю) может быть сравнима и даже много больше ё'_крышки. Поэтому наше прибли­жение оказывается негодным.

* Такая же формула получается и с помощью квантовой механики, однако интерпретация ее в этом случае иная. В квантовой механике даже одноэлектронный атом, например водород, имеет несколько резонансных частот. Поэтому вместо числа электронов N_k с частотой w_k появляется мно­житель Nf_k где N — число атомов в единице объема, а число f_k (называе­мое силой осциллятора) указывает, с каким весом входит данная резонансная частота w_k.

Глава 32

РАДИАЦИОННОЕ ЗАТУХАНИЕ. РАССЕЯНИЕ СВЕТА

§ 1. Радиационное сопротивление

§ 2. Интенсивность излучения

§ 3. Радиационное затухание

§ 4, Независимые источники

§ 5. Рассеяние света

§ 1. Радиационное сопротивление

В предыдущей главе мы показали, что сис­тема осциллирующих зарядов излучает энер­гию, и нашли формулу для энергии излучения. Количество энергии, проходящее в 1 сек через квадратный метр поверхности площадки, пер­пендикулярной направлению излучения, опре­деляется средней величиной квадрата электри­ческого поля системы, умноженной на e₀c:

Р = e₀с<E²>. (32.1)

Каждый заряд, колеблясь, излучает энергию; излучает, например, и антенна, в которой внеш­ний источник вызывает движение зарядов. При излучении энергия уходит в пространство, и в силу закона сохранения энергии по проводам, присоединенным к антенне, должна подаваться некоторая мощность. Это означает, что антенна, присоединенная к цепи источника тока, играет роль сопротивления, т. е. такого элемента цепи, где происходит «потеря» энергии (на самом деле энергия не теряется, а излучается, но по отно­шению к данному контуру энергия уходит без­возвратно). В обычном сопротивлении «теряе­мая» энергия переходит в тепло; в данном слу­чае энергия уходит в пространство. С точки зре­ния теории электрических цепей неважно, куда уходит энергия, результат один и тот же — происходит «утечка» энергии из цепи. Поэтому, если антенна сделана даже из чистейшей меди, все равно для генератора она представляет со­бой сопротивление. Желательно, чтобы антенны излучали максимально возможное количество энергии, поэтому стараются уменьшить их ем­кость и индуктивность; самые лучшие ан­тенны имеют очень малую емкость и индуктивность. Сопротивление, которое имеют антенны в цепи, назы­вают радиационным сопротивлением.

Пусть через антенну проходит ток I, тогда средняя мощность, теряемая в антенне, равна квадрату тока, умноженному на сопротивление. Излучаемая антенной мощность также пропор­циональна квадрату тока, потому что напряженность поля про­порциональна току, а излучаемая энергия пропорциональна квадрату поля. Коэффициент пропорциональности, связываю­щий излучаемую мощность и <I²>, и есть радиационное сопро­тивление.

Интересно узнать, из-за чего возникает радиационное сопро­тивление. Возьмем простой пример: пусть ток по антенне течет попеременно вверх и вниз. Если сообщить заряженному телу ускоренное движение вверх и вниз, то оно начнет излучать (не­заряженное тело при этом энергию не излучает). Раз антенна из­лучает энергию, мы должны совершать над ней работу. Но одно дело показать с помощью закона сохранения энергии, что энер­гия теряется, и совсем другое — ответить на вопрос: против какой силы мы совершаем работу? Это очень интересный и труд­ный вопрос, на который применительно к электронам так и не удалось дать полного и удовлетворительного ответа. Однако в случае антенн ответ был найден. Вот что происходит в антеннах: поля, создаваемые движущимися электронами в одной части антенны, воздействуют на электроны в другой части. Можно вы­числить действующие силы и найти производимую ими работу, а отсюда получить формулу для радиационного сопротивления. Было бы неправильно утверждать: «Мы можем вычислить», потому что мы еще не изучили законы электричества на малых расстояниях и знаем, каково электрическое поле только на больших расстояниях. Хотя мы привели формулу (28.3), мы еще не можем ею воспользоваться для вычисления поля внутри волновой зоны, потому что эта формула для нас слитком слож­на. Правда, с помощью закона сохранения энергии мы можем получить результат и не зная вида поля на малых расстояниях. (Обращая ход рассуждений, можно найти взаимодействие на малых расстояниях, если известен вид поля на больших расстоя­ниях и если затем воспользоваться законом сохранения энергии; мы, однако, не будем сейчас заниматься этим вопросом.)

Пусть теперь имеется один-единственный электрон; к чему приложена возникающая в нем сила сопротивления? Старая классическая теория представляла электрон в виде маленького шарика, различные части которого взаимодействуют друг с другом. В результате запаздывания при распространении взаи­модействия внутри этого шарика сила оказывается несколько смещенной по фазе относительно скорости движения. Мы знаем, что, когда электрон покоится, «действие равно противодейст­вию». Поэтому внутренние силы уравновешиваются и результирующая сила равна нулю. Но в ускоренном электроне сила, дей­ствующая на переднюю половинку со стороны задней, из-за запаздывания не равна силе, действующей в обратном направ­лении. Запаздывание взаимодействия во времени нарушает баланс сил, и в результате вся система как бы «наступает сама себе на шнурки». Такое объяснение возникновения радиацион­ного сопротивления у движущегося электрона встретилось со многими трудностями и, прежде всего потому, что по совре­менным представлениям электрон вовсе не «маленький шарик»; проблема так и осталась нерешенной по сей день. Тем не менее, даже не зная механизма действия сил, мы можем точно вычис­лить силу сопротивления излучения, т. е. затраты энергии на ускорение заряда.

§ 2. Интенсивность излучения

Вычислим теперь полную энергию, излучаемую зарядом при ускорении. Для общности возьмем случай произвольного уско­рения, считая, однако, движение нерелятивистским. Когда уско­рение направлено, скажем, по вертикали, электрическое поле излучения равно произведению заряда на проекцию запаздыва­ющего ускорения, деленному на расстояние. Таким образом, нам известно электрическое поле в любой точке, а отсюда мы знаем энергию e₀cE², проходящую через единичную площадку за 1 сек.

Величина e₀c часто встречается в формулах распространения радиоволн. Обратную ей величину можно назвать импедансом вакуума (или сопротивлением вакуума); она равна 1/e₀с =377 ом. Отсюда мощность (в ваттах на квадратный метр) есть средний квадрат поля, деленный на 377.

С помощью формулы (29.1) для электрического поля мы по­лучаем

(32.2)

где S — мощность на 1 м², излучаемая под углом q. Как уже отмечалось, S обратно пропорционально расстоянию. Интегри­руя, получаем отсюда полную мощность, излучаемую во всех направлениях. Для этого сначала умножим S на площадь по­лоски сферы, тогда мы получим поток энергии в интервале угла dq (фиг. 32.1). Площадь полоски вычисляется следующим обра­зом: если радиус равен r, то толщина полоски равна rdq, а длина 2prsinq, поскольку радиус кольцевой полоски есть rsinq. Таким образом, площадь полоски равна