Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

(31.13)

Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:

(31.15)

откуда

(31.16)

Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.

Теперь мы в состоянии определить поле Е_а , создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Е_а в точке Р есть скорость заряда, за­паздывающая по времени на величину z/c, умноженная на отри­цательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х₀ из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле

(31.17)

Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель ехр[iw(t-z/c)]); амплитуда волны про­порциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель h), а также амплитуде поля источника (Е₀). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств ато­мов (q_e , m , w₀).

Самый важный момент, однако, заключается в том, что фор­мула (31.17) для Е_a очень похожа на выражение Е_а в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить

(31.18)

Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны Dz, поскольку h — число атомов на единицу площади — равно NDz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Под­ставляя NDz вместо hи сокращая на Dz, получаем наш основ­ной результат — формулу для показателя преломления, выра­женную через константы, зависящие от свойств атомов, и часто­ту света:

(31.19)

Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились.

§ 3. Дисперсия

Полученный нами результат очень интересен. Он дает не только показатель преломления, выраженный через атомные постоянные, но указывает, как меняется показатель преломления с частотой света w. С помощью простого утверждения «свет дви­жется с меньшей скоростью в прозрачной среде» мы никогда бы не смогли прийти к этому важному свойству. Нужно, конечно, еще знать число атомов в единице объема и собственную частоту атомов w₀. Мы еще не умеем определять эти величины, поскольку они разные для разных материалов, а общую теорию по данному вопросу мы сейчас изложить не можем. Общая теория свойств различных веществ — их собственных частот и

т. п.— форму­лируется на основе квантовой механики. Кроме того, свойства различных материалов и величина показателя преломления сильно меняются от материала к материалу, и поэтому вряд ли можно надеяться, что вообще удастся получить общую форму­лу, пригодную для всех веществ.

Тем не менее попробуем применить нашу формулу к разным средам. Прежде всего, для большинства газов (например, для воздуха, большей части бесцветных газов, водорода, гелия и т. д.) собственные частоты колебаний электронов соответствуют уль­трафиолетовому свету. Эти частоты много больше частот види­мого света, т. е. w₀ много больше w, и в первом приближении можно пренебречь w² по сравнению с w₀². Тогда показатель преломления получается почти постоянным. Итак, для газов показатель преломления можно считать константой. Этот вывод справедлив также и для большинства других прозрачных сред, например для стекла. Взглянув более внимательно на наше выражение, можно заметить, что при увеличении со знамена­тель уменьшается, а, следовательно, показатель преломления растет. Таким образом, n медленно увеличивается с ростом час­тоты. Для синего света показатель преломления больше, чем для красного. Именно поэтому синие лучи сильнее отклоняются призмой, чем красные.

Сам факт зависимости показателя преломления от частоты называется дисперсией, так как именно из-за дисперсии свет «диспергирует», раскладывается призмой в спектр. Формула, выражающая показатель преломления как функцию частоты, называется формулой дисперсии. Итак, мы нашли дисперсион­ную формулу. (За последние несколько лет «дисперсионные фор­мулы» стали использоваться в теории элементарных частиц.)

Наша дисперсионная формула предсказывает ряд новых инте­ресных эффектов. Если частота w₀ лежит в области видимого света или если измерять показатель преломления вещества, например стекла, для ультрафиолетовых лучей (где w близко к w₀), то знаменатель стремится к нулю, а показатель преломления становится очень большим. Пусть, далее, w больше w₀. Такой случай возникает, например, если облучать вещества типа стекла рентгеновскими лучами. Кроме того, многие вещества, непро­зрачные для обычного света (скажем, уголь), прозрачны для рентгеновских лучей, поэтому можно говорить о показателе преломления этих веществ для рентгеновских лучей. Собствен­ные частоты атомов углерода гораздо меньше частоты рентгенов­ских лучей. Показатель преломления в этом случае дается нашей дисперсионной формулой, если положить w₀=0 (т. е. мы прене­брегаем w₀² по сравнению с w²).

Аналогичный результат получается при облучении газа сво­бодных электронов радиоволнами (или светом). В верхних слоях атмосферы ультрафиолетовое излучение Солнца выбивает элек­троны из атомов, в результате чего образуется газ свободных электронов. Для свободных электронов w₀=0 (упругой возвращающей силы нет). Полагая в нашей дисперсионной формуле w₀=0, получаем разумную формулу для показателя преломления радиоволн в стратосфере, где N теперь означает плотность сво­бодных электронов (число на единицу объема) в стратосфере. Но, как видно из формулы, при облучении вещества рентгеновскими лучами или электронного газа радиоволнами член (ш02-ш²) ста­новится отрицательным, откуда следует, что n меньше единицы. Это значит, что эффективная скорость электромагнитных волн в веществе больше c! Может ли так быть?

Может. Хотя мы и говорили, что сигналы не могут распро­страняться быстрее скорости света, тем не менее показатель преломления при некоторой частоте может быть как больше, так и меньше единицы. Это просто означает, что сдвиг фазы за счет рассеяния света либо положителен, либо отрицателен. Кроме того, можно показать, что скорость сигнала определяется показателем преломления не при одном значении частоты, а при многих частотах. Показатель преломления указывает на ско­рость движения гребня волны. Но гребень волны не составляет еще сигнала. Чистая волна без всяких модуляций, т. е. состоя­щая из бесконечно повторяющихся правильных осцилляции, не имеет «начала», и ее нельзя использовать для посылки сигна­лов времени. Чтобы послать сигнал, волну нужно видоизменить, сделать на ней отметку, т. е. сделать ее кое-где потолще или по­тоньше. Тогда волна будет содержать не одну частоту, а целый ряд частот, и можно показать, что скорость распространения сигнала зависит не от одного значения показателя преломления, а от характера изменения показателя с частотой. Мы пока от­ложим этот вопрос. В гл. 48 (вып. 4) мы вычислим скорость рас­пространения сигналов в стекле и убедимся, что она не превышает скорости света, хотя гребни волны (понятия чисто математиче­ские) движутся быстрее скорости света.