Фейнмановские лекции по физике. 3. Излучение. Волны. Кванты

· · ·

Вернемся снова к фиг. 31.1. Из сказанного ясно, что нужно вычислить поле в точке Р от осциллирующих зарядов стеклян­ной пластинки. Обозначим эту часть поля, которая представ­ляется вторым членом в равенстве (31.2), через Е_а. Добавляя к ней поле источника E_s, получаем полное поле в точке Р.

Стоящая перед нами здесь задача, пожалуй, самая сложная из тех, которыми мы будем заниматься в этом году, но сложность ее заключается только в большом количестве складываемых членов; каждый член сам по себе очень прост. В отличие от дру­гих случаев, когда мы обычно говорили: «Забудь вывод и смотри только на результат!», теперь для нас вывод гораздо важнее результата. Другими словами, нужно понять всю физическую «кухню», с помощью которой вычисляется показатель прелом­ления.

Чтобы понять, с чем мы имеем дело, найдем, каким должно быть «поправочное поле» Е_а, чтобы полное поле в точке Р вы­глядело как поле источника, замедлившееся при прохождении через стеклянную пластинку. Если бы пластинка никак не влияла на поле, волна распространялась бы направо (по оси

2) по закону

(31.3)

или, используя экспоненциальную запись,

(31.4)

А что произошло бы, если бы волна проходила через пластин­ку с меньшей скоростью? Пусть толщина пластинки есть Dz. Если бы пластинки не было, то волна прошла бы расстояние Dz за время Dz/c. А поскольку кажущаяся скорость распростра­нения есть c/n, то потребуется время nDz/c, т. е. больше на не­которое добавочное время, равное Dt=(n-l) Dz/c. За пластин­кой волна снова движется со скоростью с. Учтем добавочное вре­мя на прохождение через пластинку, заменив t в уравнении (31.4) на (t-Dt), т. е. [t-(n-1)Dz/c]. Таким образом, если по­ставить пластинку, то формула для волны должна приобрести

(31.5)

Эту формулу можно переписать еще и по-другому:

(31.6)

откуда заключаем, что поле за пластинкой получается умноже­нием поля, которое было бы при отсутствии пластинки (т. е. E_s), на ехр[-iw(n-1)Dz/c]. Как мы знаем, умножение осцилли­рующей функции типа e^iwt на е^iq означает изменение фазы коле­баний на угол q, возникающее из-за задержки при прохождении пластинки. Фаза запаздывает на величину w(n-1)Dz/c (именно запаздывает, поскольку в экспоненте стоит знак минус).

Мы говорили раньше, что пластинка добавляет поле Е_а к первоначальному полю E_S=E₀ехр[iw(t-z/c)], а вместо этого нашли, что действие пластинки сводится к умножению поля на фактор, сдвигающий фазу колебаний. Однако здесь нет противоречия, поскольку тот же результат можно получить, приба­вив подходящее комплексное число. Это число особенно просто найти для малых Dz, так как е^х при малых x с большой точностью равно (1+x).

Фиг. 31.3. Построение вектора поля прошедшей через материал волны при некоторых значениях t и z.

Тогда можно записать

(31.7)

Подставляя это равенство в (31 6), получаем

(31.8)

Первый член в этом выражении есть просто поле источника, а второй следует приравнять Е_а — полю, создаваемому осцилли­рующими зарядами пластинки справа от нее. Поле Е_а выражено здесь через показатель преломления n; оно, разумеется, зависит от напряженности поля источника.

· · ·

Смысл сделанных преобразований легче всего понять с по­мощью диаграммы комплексных чисел (см. фиг. 31.3). Отло­жим сперва E_s (z и t выбраны на рисунке такими, что E_s лежит на действительной оси, но это не обязательно). За­держка при прохождении пластинки приводит к запаздыва­нию фазы E_s, т. е. поворачивает E_s на отрицательный угол. Это все равно, что добавить малый вектор Е_а, направленный почти под прямым углом к E_s. Именно такой смысл имеет множитель (-i) во втором члене (31.8). Он означает, что при действитель­ном E_s величина Е_а отрицательная и мнимая, а в общем случае E_s и Ё_а образуют прямой угол.

§ 2. Поле, излучаемое средой

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Е_а во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель пре­ломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Е_а , создаваемого зарядами пластин­ки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которы­ми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Таблица 31.1 ● обозначения которыми мы пользуемся

ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ _______

E_s поле, создаваемое источником

Е_а поле, создаваемое зарядами пластинки

Dz толщина пластинки

z расстояние по нормали к пластинке

n показатель преломления

w частота (угловая) излучения

N число зарядов в единице объема пластинки

h число зарядов на единицу площади пластинки

q_е заряд электрона

m масса электрона

w₀ резонансная частота электрона, связанного в атоме

Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле E_s имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

(31.9)

На самой пластинке в точке z=0 мы имеем

(31.10)

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут коле­баться вверх и вниз (если e0 направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т. е. пусть электроны упруго соеди­нены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормаль­ного положения под действием силы пропорционально величине силы.

Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, «что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой w₀. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они под­чиняются:

(31.11)

(здесь F — внешняя сила).

В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать

(31.12)

где q_e — заряд электрона, а в качестве E_S мы взяли значение Е_S = Е₀е^iwt из уравнения (31.10). Уравнение движения элект­рона приобретает вид