Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

(4.30)

на этой поверхности.

Теперь покажем, что две «торцевые» поверхности могут быть без ущерба для величины интеграла (4.30) перекошены отно­сительно радиуса. Хотя это верно всегда, но для наших целей

Фиг. 4.6. Поток Е из поверхности S равен нулю.

достаточно только показать, что это справедливо тогда, когда «торцы» малы и стягивают малый угол с вершиной в источнике, т. е. в действительности бесконечно малый угол. На фиг. 4.6 показана поверхность S, «боковые грани» которой радиальны, а «торцы» перекошены. На рисунке они не малы, но надо пред­ставить себе, что на самом деле они очень малы. Тогда поле Е над поверхностью будет достаточно однородным, так что можно взять его значение в центре. Если торец наклонен на угол q, то его площадь возрастает в 1/cosq раз, а Е_n — компонента Е, нормальная к поверхности торца, убывает в cosq раз, так что произведение Е_nDа не меняется. Поток из всей поверхности S по-прежнему равен нулю.

Теперь уже легко разглядеть, что и поток из объема, окру­женного произвольной поверхностью S, обязан быть равным ну­лю. Ведь любой объем можно представить себе составленным из таких частей, как на фиг. 4.6. Вся поверхность раз­делится на пары торцевых участков, а поскольку потоки через каждую из них внутрь и наружу объема попарно уничтожаются, то и суммарный поток через поверхность обратится в нуль. Идея эта иллюстрируется фиг. 4.7. Мы получаем совершенно общий результат: суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю.

Фиг. 4.7. Всякий объем можно представлять себе состоящим из бесконечно ма­лых усеченных конусов.

Поток E сквозь один конец каж­дого конического сегмента равен и противоположен потоку сквозь другой конец. Общий поток из поверхности S поэтому равен пулю.

Фиг. 4.8. Если заряд нахо­дится внутри поверхности, поток наружу не равен нулю.

Будьте, однако, внимательны! Наше доказательство рабо­тает только тогда, когда поверхность S не окружает заряд. А что случилось бы, если бы точечный заряд оказался внутри поверхности? Как и раньше, поверхность можно было бы разде­лить на пары площадок, связанные радиальными прямыми, про­ходящими через заряд (фиг. 4.8). Потоки через эти участки по той же причине, что и раньте, по-прежнему попарно равны, но только теперь их знаки одинаковы. Поток из поверхности, окружающей заряд, не равен нулю. Тогда чему же он равен? Это можно определить с помощью фокуса. Допустим, что мы «убрали» заряд «изнутри», окружив его маленькой поверхно­стью S' так, чтобы она лежала целиком внутри первоначальной поверхности 5 (фиг. 4.9). Теперь в объеме, заключенном между двумя поверхностями S и S', никакого заряда нет. Общий по­ток из этого объема (включая поток через S') равен нулю, в чем можно убедиться при помощи прежних аргументов. Они говорят нам, что поток через S' внутрь объема такой же, как поток через S наружу.

Для S' мы можем выбрать любую, какую угодно форму, поэтому давайте сделаем ее сферой с зарядом в центре (фиг. 4.10). Тогда поток через нее подсчитать легко. Если радиус малой сферы равен r, то значение Е повсюду на ее поверхности равно

и направлено всегда по нормали к поверхности. Весь поток

Фиг. 4.9. Поток через S равен потоку через S'.

Фиг. 4.10. Поток через сфериче­скую поверхность, охватывающую точечный заряд q, равен qle₀.

через S' получится, если эту нормальную составляющую Е умножить на площадь поверхности:

Поток через поверхность

т. е. равен числу, не зависящему от радиуса сферы! Значит, и поток наружу через S тоже равен q/e₀; это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри. Наши выводы мы можем записать так:

(4.32)

Давайте вернемся к нашей аналогии с «дробинками» и по­смотрим, есть ли в ней смысл. Наша теорема утверждает, что суммарный поток дробинок через поверхность равен нулю, если поверхность не окружает собой ружье, стреляющее дробью. А если ружье окружено поверхностью, то какого бы размера или формы она ни была, количество проходящих через нее дро­бинок всегда одно и то же — оно дается скоростью, с которой дробинки вылетают из ружья. Все это выглядит вполне разумно для сохраняющихся дробинок. Но сообщает ли эта модель нам хоть что-то сверх того, что получается просто из уравнения (4.32)? Никому не удалось добиться того, чтобы «дробинки» произвели на свет что-нибудь сверх этого закона. Кроме него, они порождают только ошибки. Поэтому-то мы сегодня предпо­читаем чисто абстрактное представление об электромагнитном поле.

§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля Е

Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был дока­зан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд q_l—в одной точке и заряд (q₂ — в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если e₁—то электрическое поле, которое создал бы один только заряд q₁ ,a E₂ — электрическое поле, создаваемое одним зарядом q₂, то суммарное электрическое поле равно Е=Е₁ + Е₂. Поток через произвольную замкнутую поверхность S равен

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный од­ним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если q_lнахо­дится внутри S, a q₂ — снаружи, то первый интеграл даст q₁/e₀, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q₁+q₂)/e₀. Общее правило очевидно: суммарный поток из замк­нутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, де­ленному на e₀.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса,

Закон Гаусса:

(4.34)

или

(4.35)

где

(4.36)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r³, да и любое поле 1/rⁿ с n№2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, дей­ствующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они со­вершенно равноценны до того момента, пока силы между заря­дами действуют радиально.