Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

§ 6. Циркуляция по квадрату; теорема Стокса

Как нам найти циркуляцию по каждому квадратику? Все зависит от того, как квадрат ориентирован в пространстве. Если ориентация его подобрана удачно (к примеру, он распо­ложен в одной из координатных плоскостей), то расчет сде­лать легко. Так как пока мы не делали никаких предположений об ориентации осей координат, мы вправе выбрать их так, чтобы тот квадратик, на котором мы сосредоточили свое вни­мание, оказался в плоскости ху (фиг. 3.10). Если результат расчета будет выражен в векторной записи, то можно говорить, что он не зависит от специальной ориентации плоскости.

Фиг. 3.10. Вычисление цирку­ляции вектора С по маленькому квадратику.

Мы хотим теперь найти циркуляцию поля С по нашему квад­ратику. Криволинейное интегрирование легко проделать, если квадратик сделать таким маленьким, чтобы вектор С на про­тяжении одной стороны квадрата менялся очень мало. (Это предположение выполняется тем лучше, чем меньше квадратик, так что на самом деле речь идет о бесконечно малых квадра­тиках.) Отправившись от точки (х, у) — в левом нижнем углу фигуры,— мы обойдем весь квадрат в направлении, указанном стрелками. Вдоль первой стороны, отмеченной цифрой 1, ка­сательная составляющая равна С_х(1),а расстояние равно Dх. Первая часть интеграла равна C_x(1) Dх, Вдоль второй стороны получится С_у(2) Dy. Вдоль третьей мы получим -С_x(3) Dх, а вдоль четвертой -C_y(4) Dy. Знаки минус стоят потому, что нас интересует касательная составляющая в направлении об­хода. Весь криволинейный интеграл тогда равен

(3.31) Посмотрим теперь на первый и третий члены. В сумме они дают

(3.32)

Вам может показаться, что в принятом приближении эта раз­ность равна нулю. Но это только в первом приближении. Мы можем быть более точными и учесть скорость изменения С_х, тогда можно написать

(3.33)

В следующем приближении пойдут члены с (Dy)², но ввиду того, что нас интересует в конечном счете только предел при Dy®0, то этими членами можно пренебречь. Подставляя (3.33) в (3.32), мы получаем

(3.34)

Производную при нашей точности можно брать в точке (х, у). Подобным же образом оставшиеся два члена можно написать в виде

(3.35)

и циркуляция по квадрату тогда равна

(3.36)

Интересно, что в скобках получилась как раз z-компонента ротора С. Множитель DxDy— это площадь нашего квадрата. Так что циркуляцию (3.36) можно записать как

(СXС)_zDа.

Но z-компонента это на самом деле компонента, нормальная к элементу поверхности.

Фиг. 3.11. Циркуляция век­тора С по Г равна поверхност­ному интегралу от нормальной компоненты вектора СXС.

Поэтому циркуляцию вокруг квад­ратика можно задать и в инвариантной векторной записи:

(3.37)

В результате имеем: циркуляция произвольного вектора С по бесконечно малому квадрату равна произведению состав­ляющей ротора С, нормальной к поверхности, на площадь квад­рата.

Циркуляция по произвольному контуру Г легко теперь может быть увязана с ротором векторного поля. Натянем на кон­тур любую подходящую поверхность S (как на фиг. 3.11) и сложим между собой циркуляции по всем бесконечно малым квадратикам на этой поверхности. Сумма может быть записана в виде интеграла. В итоге получится очень полезная теорема, называемая теоремой Стокса [по имени физика Стокса].

ТЕОРЕМА СТОКСА

(3.38)

где S — произвольная поверхность, ограниченная контуром Г. Теперь мы должны ввести соглашение о знаках. На приведен­ной ранее фиг. 3.10 ось z показывает на вас, если система коорди­нат «обычная», т. е. «правая». Когда в криволинейном интеграле мы брали «положительное» направление обхода, то циркуляция получилась равной z-компоненте вектора СXC. Обойди мы кон­тур в другую сторону, мы бы получили противоположный знак. Как вообще узнавать, какое направление надо выбирать для положительного направления «нормальной» компоненты век­тора СXC? «Положительную» нормаль надо всегда связывать с направлением так, как это сделано было на фиг. 3.10. Об­щий случай показан на фиг. 3.11.

Для запоминания годится «правило правой руки». Если вы расположите пальцы вашей правой руки вдоль контура Г, чтобы кончики пальцев показывали положительное направление обхода ds, то ваш большой палец укажет направление положи­тельной нормали к поверхности S.

§ 7. Поля без роторов и поля без дивергенций

Теперь перейдем к некоторым следствиям из наших новых теорем. Возьмем сперва случай вектора, у которого ротор (или вихрь) повсюду равен нулю. Тогда, согласно теореме Стокса, циркуляция по любому контуру — нуль. Если мы теперь возь­мем две точки (1) и (2) на замкнутой кривой (фиг. 3.12), то кри­волинейный интеграл от касательной составляющей от (1) до (2) не должен зависеть от того, какой из двух возможных путей мы выбрали. Можно заключить, что интеграл от (1) до (2) может зависеть только от расположения этих точек, т. е. что он есть функция только от координат точек. Той же логикой мы пользо­вались в вып. 1, гл. 14, когда доказывали, что если интеграл от некоторой величины по произвольному замкнутому контуру всегда равен нулю, то этот интеграл может быть представлен в виде разности функций от координат двух концов. Это позво­лило нам изобрести понятие потенциала. Мы доказали далее, что векторное поле является градиентом этой потенциальной функ­ции [см. вып. 1, уравнение (14.13)].

Отсюда следует, что любое векторное поле, у которого ротор равен нулю, может быть представлено в виде градиента неко­торой скалярной функции, т. е. если АXС=0 всюду, то существует некоторая функция y (пси), для которой С = Сy (полезное представление). Значит, мы можем, если захотим, опи­сывать этот род векторных полей при помощи скалярных полей.

Теперь докажем еще одну формулу. Пусть у нас есть про­извольное скалярное поле j (фи). Если взять его градиент Сj, то интеграл от этого вектора по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю.

Фиг. 3.12. Если СXС равно нулю, то циркуляция по замкнутой при­вой Г тоже нуль.

Криволинейный интеграл от C·ds на участке от (1) до (2) вдоль а должен быть равен интегралу вдоль b.

Фиг. 3.13. При переходе к пределу замкнутой поверхности поверхно­стный интеграл от (СXС)_n должен обратиться в нуль.

Криволинейный интеграл от точки (1) до точки (2) равен [j(2)- j (1)]. Если точки (1) и (2) совпадают, то наша теорема 1 [уравнение (3.8)] сообщает нам, что криволинейный интеграл равен нулю: