Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

Начнем с самых простых задач, в которых положения всех зарядов фиксированы. Если бы нам нужно было изучить элект­ростатику только на этом уровне (а этим мы и будем заниматься в ближайших двух главах), то жизнь наша была бы очень проста. Все было бы почти тривиальным и нам понадобился бы, как вы в этом сейчас убедитесь, только закон Кулона да несколько интегрирований. Однако во многих реальных электростатиче­ских задачах мы вначале не знаем, где находятся заряды. Мы знаем только, что они в зависимости от свойств вещества распре­делились как-то и где-то. Положение, которое примут заряды, зависит от поля Е, а оно в свою очередь зависит от расположе­ния зарядов. И тогда все сразу усложняется. Если, например, заряженное тело поднесено к проводнику или к изолятору, то электроны и протоны в проводнике или изоляторе начнут пере­текать на новое место. Одна часть плотности заряда r в уравнении (4.5) будет нам известна — это тот заряд, который мы подносим; но в r войдут и другие части от тех зарядов, которые перетекают. Мы обязаны будем учесть движение всех зарядов. Возникнут довольно тонкие и интересные задачи.

Однако настоящая глава, хоть она и посвящена электро­статике, не будет касаться самых красивых и тонких вопросов этой науки. В ней будут рассмотрены лишь такие ситуации, в которых можно предположить, что расположение всех зарядов известно. Но и в этом случае, прежде чем научиться справляться со сложными случаями, естественно сначала освоиться с про­стыми.

§ 2. Закон Кулона; наложение сил

Логично было бы принять за отправную точку уравнения (4.5) и (4.6). Но легче начать с другого, а потом вернуться к этим уравнениям. Результат получится одинаковый. Мы начнем с закона, о котором говорилось раньше,— с закона Кулона, утверждающего, что между двумя покоящимися зарядами дей­ствует сила, прямо пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними. Сила направлена по прямой от одного заряда к другому.

Закон Кулона

(4.9)

здесь F₁ — сила, действующая на заряд q₁; е₁₂ — единичный вектор, направленный от q₂к q₁ , а г₁₂— расстояние между q₁ и q₂. Сила F₂, действующая на q₂, равна и противоположна силе F₁. Множитель пропорциональности по историческим причи­нам пишется в виде ¹/₄яе₀. В системе единиц СИ, которой мы пользуемся, он определяется как 10^-7 от квадрата скорости света. Так как скорость света примерно 3·10⁸ м/сек, то множи­тель приблизительно равен 9·10⁹, и единица оказывается рав­ной ньютон·м²/кулон², или вольт ·м/кулон

(4.10)

Если зарядов больше двух (а именно такие случаи наи­более интересны), то закон Кулона нужно дополнить другим существующим в природе фактом: сила, действующая на заряд, есть векторная сумма кулоновских сил, действующих со сто­роны всех прочих зарядов. Этот экспериментальный факт на­зывается «принципом наложения», или «принципом суперпозиции». Это и есть все, что имеется в электростатике. Если доба­вить к закону Кулона принцип наложения, то больше ничего в ней не останется. Точно к таким же выводам, ни больше, ни меньше, приведут уравнения электростатики, уравнения (4.5) и (4.6).

Применяя закон Кулона, удобно ввести понятие об электри­ческом поле. Мы говорим, что поле Е(1) — это сила, действую­щая со стороны прочих зарядов на единицу заряда q₁ . Деля (4.9) на q₁ ,мы получаем для действия всех зарядов, кроме q₁,

(4.11)

Кроме того, мы считаем, что Е(1) описывает нечто, существую­щее в точке (1), даже если в ней нет заряда q₁(в предположении, что все прочие заряды сохранили свои позиции). Мы говорим: Е(1) — это электрическое поле в точке (1).

Электрическое поле Е — это вектор, так что в (4.11) на са­мом деле написаны три уравнения, по одному для каждой ком­поненты. Расписывая x-компоненту в явном виде, получаем

(4.12)

и точно так же для остальных компонент.

Если зарядов много, то поле Е в любой точке (1) равно сумме вкладов от всех зарядов. Каждый член в сумме будет выглядеть как (4.11) или (4.12). Пусть q_j— величина j-го заряда, а г_1j— смещение q_jот точки (1); тогда мы напишем

(4.13)

Фиг. 4.1. В точке (1) электрическое поле Е от некоторо­го распределения зарядов полу­чается из интеграла по рас­пределению.

Точка (I) может находится также внутри распределения.

что означает, конечно,

и т. д.

Часто бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды всегда существуют в виде отдельных кусочков, таких, как элект­роны или протоны, а считать, что они размазаны сплошным пятном, или, как говорят, описываются «распределением». До тех пор пока нам все равно, что происходит в малых масшта­бах, такое описание вполне законно. Распределение заряда описывается «плотностью заряда» r (х, у, z). Если количество заряда в небольшом объеме DV₂ близ точки (2) есть Dq₂, то r определяется равенством

(4.15)

Пользуясь теперь законом Кулона при непрерывном рас­пределении заряда, мы заменяем в уравнениях (4.13) или (4.14) суммы интегралами по всему объему, содержащему заряды. Получается

(4.16)

Некоторые предпочитают писать

где r₁₂ — вектор смещения от (2) к (1) (фиг. 4.1). Интеграл для Е тогда запишется в виде

(4.17)

Если мы хотим действительно провести интегрирование до конца, то обычно приходится интегралы расписывать подробнее. Для x-компоненты уравнений (4.16) или (4.17) получается

Мы не собираемся вычислять что-либо по этой формуле. Написали мы ее здесь только для того, чтобы подчеркнуть, что мы полностью решили те электростатические задачи, в которых известно расположение всех зарядов.

Дано: Заряды.

Определить: Поля.

Решение: Возьми этот интеграл.

Так что по существу все сделано; остается только проделать сложные интегрирования по трем переменным. Эта работа в са­мый раз для счетной машины!

Пользуясь этими интегралами, мы можем найти поле за­ряженной плоскости, заряженной линии, заряженной сферы и любого выбранного распределения. Хотя мы сейчас начнем чер­тить силовые линии, говорить о потенциалах и вычислять ди­вергенции, важно понимать, что ответ на все решаемые задачи в принципе уже готов. Просто порой бывает легче взять интег­рал, придумав фокус, чем проделывать все выкладки чест­но. Но чтобы догадываться, нужно научиться разным ухищ­рениям. Быть может, лучше было бы вычислять интегралы не­посредственно, а не тратить силы на остроумные способы реше­ния да демонстрировать свою сообразительность. Но все-таки мы пойдем по пути развития сообразительности. Переходим, таким образом, к обсуждению некоторых других особенностей электрического поля.