Фейнмановские лекции по физике. 5. Электричество и магнетизм

da = dxdy.

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого куби­ка и обозначать его dV, подразумевая, что

dV= dxdydz.

Кое-кто пишет и d²a вместо da, чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dV пишут также d³V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Фиг. 3.3. Замкнутая поверх­ность S, ограничивающая объем V.

Единичный вектор n — внешняя нор­маль к элементу поверхности da, a h — вектор теплового потопа сквозь элемент поверхности.

Поток тепла через элемент поверхности da равен произведе­нию площади на составляющую h, перпендикулярную к da. Мы уже определяли n — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая h равна

h_n=h·n, (3.9)

и тогда поток тепла сквозь da равен

h·nda. (3.10)

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности

(3.11)

Этот интеграл мы будем называть «поток h через поверх­ность». Мы рассматриваем h как «плотность потока» тепла, а поверхностный интеграл от h — это общий поток тепла наружу через поверхность, т. е. тепловая энергия за единицу времени (джоули в секунду).

Мы хотим эту идею обобщить на случай, когда вектор не представляет собой потока какой-то величины, а, скажем, является электрическим полем. Конечно, если это будет нужно, то и в этом случае все равно можно проинтегрировать нормаль­ную составляющую электрического поля по площади. Хотя теперь она уже не будет ничьим потоком, мы все еще будем упот­реблять слово

«поток». Мы будем говорить, что

(3.12)

Слову «поток» мы придаем смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. То же опре­деление будет применяться и тогда, когда поверхность незамк­нута.

А возвращаясь к частному случаю потока тепла, обратим внимание на те случаи, когда количество тепла сохраняется. Представьте себе, к примеру, материал, в котором после перво­начального подогрева не происходит ни дальнейшего подвода, ни поглощения тепла. Тогда, если из какой-то замкнутой по­верхности наружу поступает тепло, содержание тепла во внут­реннем объеме должно падать. Так что в условиях, когда количество тепла сохраняется, мы говорим, что

(3.13)

где Q — запас тепла внутри S. Поток тепла из S наружу равен со знаком минус быстроте изменения со временем общего за­паса тепла Q внутри S. Это толкование возможно оттого, что речь идет о потоке тепла, и оттого, что мы предположили, что количество тепла сохраняется. Конечно, если бы внутри объема создавалось тепло, нельзя было бы говорить о полном запасе тепла в нем.

Укажем теперь на интересное свойство потока любого век­тора. Можете при этом представлять себе вектор потока тепла, но верно это будет и для произвольного векторного поля С. Представьте себе замкнутую поверхность S, окружающую объем V. Разобьем теперь объем на две части каким-то «сече­нием» (фиг. 3.4). Получились два объема и две замкнутые по­верхности. Объем V₁окружен поверхностью S₁ , составленной частью из прежней поверхности S_aи частью из «сечения» S_ab. Объем V₂ окружен поверхностью S₂, составленной из остатка прежней поверхности (S_b) и замкнутой сечением S_ab. Зададим вопрос: если мы рассчитаем поток через поверхность S_lи при­бавим к нему поток сквозь поверхность S₂, будет ли их сумма равна потоку через первоначальную поверхность? Ответ гласит: «Да». Потоки через часть S_ab , общую обеим поверхностям S₁ и S₂, в точности сократятся. Для потока вектора С из V₁можно написать

(3.14)

а для потока из V₂:

(3.15)

Заметьте, что во втором интеграле мы обозначили внешнюю нормаль к S_abбуквой n₁, если она относится к S₁ , и буквой n₂, если она относится к S₁(см. фиг. 3.4).

Фиг.3.4. Объем V, заключенный внутри поверхности S, делится на две части «сече­нием» (поверхностью S_ab). Получается объем V₁, окруженный поверхностью S₁ = S_a+S_ab, и объем V₂, окруженный поверхностью S₂= S_b+S_ab.

Ясно, что n₁=-n₂, и тем

самым

(3.16)

Складывая теперь уравнения (3.14) и (3.15), мы убеждаемся, что сумма потоков сквозь S₁и S₂как раз равна сумме двух ин­тегралов, которые, взятые вместе, дают поток через перво­начальную поверхность S=S_a+S_b.

Мы видим, что поток через всю внешнюю поверхность S можно рассматривать как сумму потоков из тех двух частей, на которые разрезан объем. Эти части можно еще разрезать: скажем, V₁разбить пополам. Опять придется прибегнуть к тем же доводам. Так что для любого способа разбиения первоначаль­ного объема всегда остается справедливым то свойство, что по­ток через внешнюю поверхность (первоначальный интеграл) равен сумме потоков изо всех внутренних частей.

§ 3. Поток из куба; теорема Гаусса

Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького ку­бика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть нап­равлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть х, у, z, ребро куба в направлении х равно Dx, ребро куба (а точнее, бруска) в направлении у равно Dy, а в направлении z равно Dz. Мы хотим найти поток вектор­ного поля С через поверхность куба. Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фиг. 3.5).

Поток наружу сквозь нее равен x-компоненте С с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен

Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением С_х в центре грани 1эту точку мы обозначили (1), умноженным на площадь грани DyDz:

Поток сквозь 1 наружу=-C_x(1)DyDz.

Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен

Поток сквозь 2 наружу= C_x(2) DyDz.