Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^±

(t)θ

_a

⎫

⎬

⎭

образует так называемую группу киральных преобразований, генерируемых токами (29.12). В рассматриваемом случае кварков трех ароматов n=3, мы приходим к группе киральных преобразований SU⁺_F(3)×SU^-_F(3). Ее генераторы можно выразить, исходя из набора векторных и аксиальных токов⁴³⁾ V^μ_ll' и A^μ_ll' , введенных в § 10. Важной подгруппой группы SU⁺_F(3)×SU^-_F(3) является генерируемая векторным током подгруппа, представляющая собой просто группу аромата SU_F(3), введенную Гелл-Манном и Нееманом.

⁴³⁾ Не все диагональные элементы принадлежат группе SU_F(3)×SU_F(3), но они принадлежат группе U_F(3)×U_F(3).

Точность соблюдения симметрии связана с независимостью от времени зарядов L_± , которые в свою очередь связаны с дивергенциями токов. Кроме диагональных аксиальных токов, эти дивергенции пропорциональны разностям кварковых масс m_l-m_l' для векторных токов и суммам кварковых масс m_l+m_l' для аксиальных токов (см. (10.5)). Таким образом, можно заключить, что группа симметрии SU_F(3) достаточно точна до тех пор, пока выполнено неравенство |m_l-m_l'|²≪Λ², а группа киральной симметрии SU⁺_F(3)×SU^-_F(3) до тех пор, пока выполнено условие m²_l≪Λ². По-видимому, разность масс имеет тот же порядок величины, что и сами массы, поэтому ожидается, что киральная симметрия выполняется почти с той же степенью точности, что и симметрия по ароматам. Кажется, это действительно так⁴⁴⁾.

⁴⁴⁾ Киральная симметрия и киральная динамика представляют собой предмет специального изучения. Здесь мы касаемся только тех аспектов, которые имеют отношение к КХД. При этом многие важные применения опускаются. Заинтересованный читатель может обратиться к работам [213, 228] и цитируемой там литературе.

§ 30. Симметрии Вигнера - Вейля и Намбу - Голдстоуна

Из того, что киральная симметрия SU(3) и симметрия по ароматам кварков SU_F(3) обладают одинаковой степенью точности, не следует, что эти симметрии реализуются одинаково. В действительности, как будет показано, существуют веские теоретические и экспериментальные причины, обуславливающие значительную разницу между ними.

Начнем с введения зарядов, обладающих определенной четностью:

Q

^a

=L

_a

⁺

+L

_a

^-

, Q

_a

⁵

=L

_a

⁺

-L

_a

^-

.

(30.1)

Одновременные коммутационные соотношения для них имеют вид

[Q

^a

(t),Q

^b

(t)]

=

2i

∑

ƒ

^abc

Q

^c

(t) ,

[Q

_b

⁵

(t),Q

_b

⁵

(t)]

=

2i

∑

ƒ

^abc

Q

_b

⁵

(t) ,

[Q

^a

(t),Q

_b

⁵

(t)]

=

2i

∑

ƒ

^abc

Q

^c

(t) .

(30.2)

Набор операторов Q^a образует группу SU_F(3). В пределе m_l→0 все генераторы Q и Q₅ не зависят от времени t и коммутируют с лагранжианом:

[Q

^a

,ℒ]=[Q

_a

⁵

,ℒ]=0 .

(30.3)

Однако различие между ними состоит в том, как эти операторы действуют на вакуумное состояние. В общем случае, если имеется совокупность генераторов L^j преобразований симметрии лагранжиана, мы имеем два возможных результата их действия на вакуумное состояние:

L

^j

|0⟩=0

(30.4)

и

L

^j

|0⟩≠0

(30.5)

Первый случай соответствует реализации симметрии Витера — Вейля, а второй — реализации симметрии Намбу — Голдсмоуна. Конечно, в общем случае оба эти типа реализации симметрии могут присутствовать одновременно; часть генераторов Lⁱ, i=1,…,r , удовлетворяет равенству (30.4), а остальные генераторы L^k, k=r+1,…,n , удовлетворяют равенству (30.5). Очевидно, что если операторы L¹ и L² удовлетворяют равенству (30.4), то этому же равенству удовлетворяет и их коммутатор. Следовательно, совокупность преобразований симметрий Вигнера - Вейля представляет собой подгруппу.

При рассмотрении данного круга вопросов важны две теоремы. Первая из них, установленная Коулменом [72], гласит, что "инвариантность вакуума означает инвариантность мира", или, более строго, что физические состояния (включая и связанные состояния) инвариантны по отношению к преобразованиям из группы симметрии Вигнера — Вейля. Если предположить, что киральная симметрия принадлежит к симметриям Вигнера — Вейля, то отсюда можно заключить, что массы мезонов должны быть вырождены с точностью до поправок порядка m²/m_h , где m_h - адронные массы. Это справедливо для таких мезонов, как ω, ρ, K^*, φ или ƒ', A₂ , ƒ⁰; но если рассмотреть дублеты по четности, то вырождения, очевидно, нет. Это обстоятельство убедительно свидетельствует о том, что группа симметрии SU_F(3) принадлежит к симметрии Вигнера - Вейля, а киральная группа симметрии SU⁺_F×SU^-_F содержит генераторы типа Намбу - Голдстоуна. Поэтому мы примем, что генераторы Q и Q_s удовлетворяют соотношениям

Q

^a

(t)|0⟩=0 , Q

_a

⁵

(t)|0⟩≠0 .

(30.6)

Второй важной теоремой является теорема Голдстоуна [148]. Она утверждает, что для каждого генератора, результат действия которого на вакуумное состояние не равен нулю, должен существовать безмассовый бозон, обладающий теми же квантовыми числами, что и соответствующий ему генератор. Таким образом, малость масс мезонов π и K^44а) мы "объясняем" тем, что в пределе m_u, m_d, m_s→0 мы получили бы m_π→0 и m_K→0. Действительно, несколько ниже будет показано, что⁴⁶⁾

^44а) При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (U(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.

⁴⁶⁾ Правые части соотношений (30.7) должны быть умножены на константу размерности массы. — Прим. перев.

m

₂

^π

≈