Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов читать книгу онлайн
Книга испанского физика Ф. Индурайна представляет собой курс современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Она содержит практически весь основной материал, необходимый для ознакомления с важнейшими результатами, полученными в рамках пертурбативной КХД, и овладения вычислительными методами теории. Материал изложен с приведением всех промежуточных выкладок и с большим педагогическим мастерством, что позволяет использовать книгу в качестве учебного или справочного пособия. Книга предназначена для научных работников, студентов и аспирантов физических факультетов, специализирующихся в области физики элементарных частиц.
Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних чтение данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту [email protected] для удаления материала
l=1
m
l
q
l
q
l
+i
n
∑
l=1
q
l
D
q
l
-
1
4
(D×B)²
+
члены, фиксирующие калибровку,
+
ду́хи.
(29.1)
Суммирование проводится только по легким кваркам, массы которых удовлетворяют неравенству m̂²≪Λ². Возможное существование тяжелых кварков никак не сказывается на дальнейших рассуждениях. Рассмотрим совокупность преобразований W+ в группе UL(n)×UR(n) (произведение левых и правых преобразований)
1±γ5
2
q
i
→
∑
l'
W
±
ll'
1±γ5
2
q
l'
,
(29.2)
где W±— унитарные матрицы. Очевидно, что единственным членом лагранжиана, неинвариантным относительно преобразований (29.2), является массовый член
ℳ=
n
∑
l=1
m
l
q
l
q
l
.
(29.3)
Записанный в таком виде, массовый член инвариантен относительно совокупности преобразований [U(1)]n:
q
i
→e
iθi
q
l
(29.4)
но он не инвариантен, если допустить существование в массовой матрице недиагональных членов. Чтобы решить вопрос о том, какими общими инвариантными свойствами обладает массовый член общего вида, докажем две теоремы.
Теорема 1. Любую массовую матрицу общею вида можно записать в виде (29.3), проведя подходящее переопределение кварковых полей. Кроме того, можно допустить, что m≥0. Поэтому выражение (29.3) фактически является массовым членом самого общего вида.
Доказательство. Пусть левые и правые кварковые поля определяются формулами
q
L
=
1
2
(1-γ
5
)q , q
R
=
1
2
(1+γ
5
)q .
Наиболее общий массовый член, совместимый с условием эрмитовости лагранжиана, имеет вид
ℳ'=
∑
ll'
⎧
⎨
⎩
q
iL
M
ll'
q
l'R
+
q
iR
M*
ll'
q
lL
⎫
⎬
⎭
.
(29.5)
Пусть матрица M имеет компоненты Mll' . На основании хорошо известного полярного разбиения матриц можно написать
M=mU
,
где матрица m положительно определена, поэтому все ее собственные значения больше нуля, а матрица U унитарна. Тогда выражение (29.5) принимает вид
ℳ'=
∑
⎧
⎨
⎩
q
iL
m
ll
q'
l'R
+
q
'
iR
M*
ll'
q
l'L
⎫
⎬
⎭
, q'
lR
=
∑
l'
U
ll'
q
l'R
,
(29.6)
где использовано свойство самосопряженности матрицы m. Переопределим поля по формуле q'=q'R+qL ; тогда выражение (29.6) в терминах полей q' примет вид
ℳ'=
∑
q
'
l
m
ll'
q'
r
,
где использовано равенство qRqR=qLqL=0. Теперь для того, чтобы получить формулу (29.3), достаточно преобразовать поля q', используя для этого матрицу V, диагонализующую матрицу m. Положительность значений величин ml следует из того, что они являются собственными значениями матрицы m. (Отметим, что член qDq в лагранжиане инвариантен относительно преобразований такого вида.)
Теорема 2. Если все массы ml имеют различные ненулевые зиачения, то единственными преобразованиями, оставляющими массовых член инвариантным, являются преобразования [U(1)]n вида (29.4).
Предположим, что W+=W-=W; проверку этого равенства оставляем читателю в качестве упражнения. Условие инвариантности массовой матрицы приводит к соотношению
W+mW=m
, т.е
mW=Wm
.
(29.7)
Известно, что любую диагональную матрицу можно записать в виде ∑n-1k=0ckmk если все собственные значения матрицы m различны и не равны нулю, как это имеет место в нашем случае. Из соотношения (29.7) следует, что матрица W коммутирует со всеми диагональными матрицами, а следовательно, она сама должна быть тоже диагональной. Поскольку эта матрица является еще и унитарной, она может быть записана в виде произведения преобразований (29.4), что и требовалось доказать. Проверку того, что сохраняющейся величиной, соответствующей преобразованию U(1), действующему на поле кварка qƒ, является соответствующее квантовое число аромата, оставляем читателю в качестве упражнения.
При доказательстве приведенных теорем мы не беспокоились о том, являются ли массы m голыми, бегущими или инвариантными. Это обусловлено тем, что в перенормировочной схеме MS массовая матрица перенормируется как одно целое по формуле
M
=Z
-1
m
M
u
,
где коэффициент Zm - число. Доказательство очень простое. Фактически для этого нужно только повторить рассуждения § 7 - 9 и 14, учитывая матричный характер величин M и Zm . В произвольной ковариантной калибровке для расходящейся части кваркового пропагатора получим
S
ξ
R
(p)
=
i
p-M
+
i
p-M
⎧
⎨
⎩
-[
Δ
F
(
p
-
M
)+(
p
-
M
)
Δ
+
F
]-δ
M
-
(1-ξ)(
p
-
M
