Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(23.13)

Здесь коэффициенты ν_NS и a имеют вид

ν

_1NS

(α

_s

)

=

ν

_NS

(α

_s

)-ψ(ν

_NS

(α

_s

)+1)

4α_s(Q²)

3π

-a

₁

α

_s

(Q²),

a(α

_s

)

=

a

₀

+a

₁

ψ(ν

_NS

(α

_s

+1)

+

2

3π

{[ψ(ν

_NS

(α

_s

)+1)]²-ψ'(ν

_NS

(α

_s

)+1)},

a

₀

≈1.18, a

₁

≈0.66 .

Интересно отметить, что благодаря члену

(1-x)

^{2α_s[log(1-x)]/3π}

(23.14)

поправки можно сделать сколь угодно большими, взяв значение переменной x достаточно близким к единице. Конечно, это означает лишь, что при x→1 как и ожидалось, теория возмущений становится неприменимой. При x=1 возникает необходимость учета связанных состояний (упругий вклад в процесс γ^*+N→all, обусловленный реакцией γ^*+N→N). В действительности существуют и другие причины, по которым рассмотрение на основе теории возмущений становится неприменимым, когда переменная x близка к единице. Из выражения (23.14) видно, что формула (23.13) применима только при промежуточных значениях переменной x :

1-x ≪ 1, но

2α_s

3π

|log(1-x)| ≪ 1.

(23.15)

Асимптотическое поведение структурных функций в пределе x→1 (или n→∞) вычислено во всех порядках по доминирующим членам вида (α_slog n)ⁿ [15, 71]. С точностью до замены A_0NS→A_0S, ν_1NS→_1S синглетная функция распределения кварков имеет вид, аналогичный (23.13).

Обратимся к рассмотрению поведения структурных функций при x≈0. При изучении поведения структурных функций в пределе x→0 квадрату 4-импульса Q² необходимо приписывать большое фиксированное значение, при котором оправданно применение теории возмущений, и положить ν→∞. В этих условиях имеет место предел Редже³⁹⁾  и так как структурные функции можно интерпретировать как сечения рассеяния виртуального гамма-кванта γ (или векторных бозонов W, Z) с квадратом инвариантной массы, равным -Q², то можно предположить [2] следующее асимптотическое поведение:

³⁹⁾ Сведения о теории Редже можно нвйти, например, в монографии [28].

ƒ(x,Q²)

≈

^x→0

b(Q²)ν

^α_R(0)

, x=

Q²

2ν

,

(23.16)

где R- соответствующая траектория Редже. В отличие от асимптотик структурных функций в пределе x→1 доказать асимптотические формулы (23.16) в рамках квантовой хромодинамики на современном этапе развития теории не удается.

Перепишем (23.16) в более удобном виде

ƒ

_NS

(x,Q²)

≈

^x→0

B

_NS

(Q²)x

^λ

,

(23.17 а)

ƒ

_i

(x,Q²)

≈

^x→0

B

_i

(Q²)x

^λ

, i=F,V .

(23.17 б)

В принципе можно допустить зависимость параметров λ от Q², но КХД и теория Редже показывают, что они имеют постоянные значения с точностью до членов O(M²/Q²).

Поведение структурных функций ƒ в пределе x→0 связано с сингулярностями моментов μ(n,Q²)^39а). Установление этой связи требует аналитического продолжения формул для μ(n,Q²) по переменной n. Поскольку моменты выражаются в виде μ(n,Q²)=AⁿCⁿ соответствующие сингулярности обусловливаются особенностями величин Aⁿ или Cⁿ в зависимости от того, какая из них расположена правее на комплексной плоскости. Можно показать, что асимптотические формулы (23.16) и (23.17) возможны только в том случае, когда крайняя правая сингулярная точка величины Aⁿ расположена правее соответствующей точки коэффициентной функции Cⁿ. Кроме того, если n₀ — такая крайняя правая сингулярная точка A , то она удовлетворяет равенствам

^39а) Детали приводимого доказательства можно найти для иесингпетного случая в работе [ 199] и для обоих случаев в первом и втором порядках теории возмущений в работе [194]. В этих работах обсуждаются также другие асимптотики структурных функций в пределе x→0, отличные от реджевских.

n

₀

=1-λ

(NS)

n

₀

1+λ

_s

(singlet),

и с необходимостью выполняется соотношение λ_F=λ_V≡λ_s.

Так как сингулярности коэффициентных функций Cⁿ совпадают с сингулярностями функций d(n) или D(n), параметры λ и λ_s удовлетворяют неравенствам

λ < 1, λ

_s

> 0.

В случае рассеяния частиц, лежащих вне массовой поверхности, второе неравенство обеспечивает существование особенности выше померонного полюса. В пользу этого свидетельствуют результаты расчетов, выполненных Грибовым и Редже (см., например, обзор [ 30] и цитируемую там литературу)

Рассмотрим, теперь синглетный случай. Из выражения (20.7) следует, что величина

[α

_s

(Q²)]

^D(n)

^⃗

μ(n,Q²)

не зависит от значения Q². Пусть матрица S(n) диагонализует матрицу D(n). Запишем матрицу S(n) в виде, аналогичном (21.12), и примем, что она удовлетворяет соотношению

S

-1

(n)

D

(n)

S

(n)

=

D

^̂

(n)=

⎛

⎜

⎝

d

₊

(n)

0

0

d

_-

(n)

⎞

⎟

⎠

.

(23.18)

Используя асимптотические формулы (23.17) и полагая n=1+λ_s+ε, находим

^⃗

μ(1+λ

_s

+ε)=

^⃗B(Q²)

ε

(23.19)

Таким образом, величина

[α

_s

(Q²)]

^D(1+λ_s+ε)

^⃗

B(Q²)

≡

^⃗

b