Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

)

₂

≡

|k

_E

|

²

.

_-∞

2π

_-∞

2π

^E

^E

Если элемент объема в D-мерном пространстве обозначить через d^Dk_E=dk¹…dk^D, то, вводя полярные координаты, его можно записать в виде d^Dk_E=d|k_E|⋅|k_E|^D-1dΩ_D . Используя формулу ∫dΩ_D=2π^D/2/Γ(D/2), получаем наконец

∫

d

^D

k

ƒ=

i

∫

^∞

d|k

_E

|⋅|k

_E

|

^D-1

ƒ(-|k

_E

|

²

).

(2π)

^D

(2π)

^D/2

Γ(D/2)

₀

Все приведенные выше выкладки справедливы только для целых положительных значений размерности D. Но последнюю формулу можно использовать для определения интеграла по пространству произвольной (даже комплексной) размерности D и произвольных значений параметров r и m.

Рассмотрим далее интеграл от полиномиального по компонентам импульса k^μ выражения, умноженного на функцию ƒ(k²); этот интеграл можно свести к ранее изученному случаю, записывая его, например, в виде

∫

d

^D

kƒ(k

²

)k

^μ

k

^ν

 =

g

^μν

∫

d

^D

kƒ(k

²

)k

²

.

D

Наконец, интеграл общего вида сводится к только что изученным интегралам разложением подынтегрального выражения в ряд по степеням аргумента k^μ. Таким способом можно вычислить интегралы, приведенные в приложении Б (а также многие другие), в пространстве произвольной размерности D. Например, нетрудно убедиться в справедливости результата

∫

d

^D

k

 -

(k

²

)

^r

 =

i

(-1)

^r-m

⋅

Γ(r+D/2)Γ(m-r-D/2)

(2π)

^D

(k

²

-a

²

)

^m

(4π)

^D/2

Γ(D/2)Γ(m)(a

²

)

^m-r-D/2

Если левая часть этого равенства расходится, скажем в физическом случае D=4, что и происходит при m-r-D/2≤0, это отражается в появ.лении полюсов в правой части равенства, связанных с полюсами гамма-функции Γ(m-r-D/2). Очевидно, что этот метод содержит в себе некоторый произвол, а именно правую часть равенства можно умножить на любую функцию φ(D) при условии, что она аналитична по D и удовлетворяет условию φ(4)=1. Такая свобода в выборе функции φ(D) оказывается весьма полезной (см. следующий параграф).

Посмотрим теперь, какие усложнения возникают в случае, когда взаимодействующие частицы обладают отличным от нуля спином. Внешние и внутренние линии фейнмановских диаграмм следует различать. Ниже будет показано, что после перенормировки функции Грина с отброшенными внешними линиями в рамках теории возмущений оказываются конечными в пределе D→4. Поскольку спиновые множители на внешних линиях (т.е. множители u, v, u, v, ε^μ; см. приложение Г) конечны в пространстве размерности D=4, их можно сразу записывать в пространстве физической размерности. Что же касается спиновых множителей на внутренних линиях, то нужно доопределить тензор g^αβ в пространстве размерности D таким образом, чтобы, например, выполнилось соотношение g^αβ=g_αβ=D и т.д. Аналогично необходимо рассматривать D матриц Дирака γ⁰, γ¹,…, γ^D-1. Если действовать последовательно, то приходится допустить, что матрицы γ^μ представляют собой матрицы размерности 2^D/2×2^D/2 (равной размерности соответствующей алгебры Клиффорда). Но это не обязательно. Калибровочная инвариантность вполне совместима со случаем, когда матрицы γ_μ имеют размерность 4×4, так что Τ_rγ^μγ^ν=4g^μν; именно эта ситуация рассматривается здесь. (Метод, связанный с размерной регуляризацией, называется размерной редукцией; дополнительную информацию о ней читатель может найти в работе [231].)

Таким образом, обобщение интегралов и алгебры матриц Дирака на случай произвольной размерности пространства D производится весьма просто. Сводка формул, встречающихся при практических вычислениях, приводится в приложениях А и Б. Несколько более сложным оказывается только введение матрицы γ₅ в D-мерном пространстве. Например, если матрицу γ₅ определить в виде γ₅=iγ⁰γ¹γ²γ³, то очевидно, что это выражение не определено в пространстве размерности D<4. Можно показать, что определение матрицы γ₅ в виде γ₅=iγ⁰…γ^D-1 не совместимо с калибровочной инвариантностью (см. § 33, в частности текст между уравнениями (33.17) и (33.20)). Подходящим является, по-видимому, следующее определение:

γ

₅

=

i

ε

_D

γ

^μ

γ

^ν

γ

^ρ

γ

^σ

,

4!

^μνρσ

где тензор ε^D совпадает с обычным антисимметричным тензором только в Случае D=4. На тензор ε^D не накладывается каких-либо дальнейших ограничений, кроме требования выполнения для любой размерности D условий

γ

₂

=1, Τ

_r

γ

₅

γ

^α

γ

^β

=0.

⁵

(см- приложение А). Таким образом, процедура размерной регуляризации полностью определена. До тех пор, пока размерность пространства, в котором проводится вычисление фейнмановских графиков, не равна целому числу, все возникающие при вычислениях интегралы оказываются конечными. В таком подходе сохраняется калибровочная и пуанкаре-инвариантность теории, но нарушается масштабная инвариантность.

Самый простой способ проследить за нарушением масштабной инвариантности состоит в следующем. При размерной регуляризации фейнмановский интеграл типа (5.4б) изменяется:

∫

d

⁴

k

 →

∫

d

^D

k

⋅

(2π)

⁴

(2π)

^D

При этом размерности полей и констант связи, входящих в подынтегральное выражение, отличаются от канонических. Но их можно сохранить каноническими, если воспользоваться следующим рецептом:

∫

d

⁴

k

 →

∫

d

⁴

k̂

≡

∫

d

^D

kν

_4-D

⁰

, D=4-ε,

(2π)

⁴

(2π)

^D