Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

Плотность же энергии для кубического кристалла выглядит так:

У изотропного, т. е. некристаллического, материала симмет­рия еще выше. Числа С должны быть теми же самыми при любом выборе осей координат. При этом, как оказывается, существует другая связь между коэффициентами С:

C_хххх=C_ххуу+C_хуху (39.19)

Это можно усмотреть из следующих общих рассуждений. Тен­зор напряжений S_ijдолжен быть связан с e_ijспособом, который совершенно не зависит от направления осей координат, т. е. он должен быть связан только с помощью скалярных величин. «Это очень просто»,— скажете вы. «Единственный способ полу­чить S_ijиз e_ij — умножить последнее на скалярную постоянную. Получится как раз закон Гука: S_ij=(Постоянная)Xе_ij». Однако это не совсем верно. Дополнительно здесь можно вста­вить единичный тензор d_ij, умноженный на некоторый скаляр, линейно связанный с е_ij. Единственный инвариант, который можно составить и который линеен по е,— это Se_jj. (Он преоб­разуется подобно х²+y²+z², а значит является скаляром.) Таким образом, наиболее общей формой уравнения, связывающего S_ijс e_ijдля изотропного материала, будет

(Первая константа обычно записывается как 2m; при этом коэффициенту равен модулю сдвига, определенному нами в пре­дыдущей главе.) Постоянные (m, и l называются упругими по­стоянными Лямэ. Сравнивая уравнения (39.20) с уравнением (39.12), вы видите, что

Таким образом, мы доказали, что уравнение (39.19) действи­тельно правильное. Вы видите также, что упругие свойства изотропного материала, как уже говорилось в предыдущей главе, полностью задаются двумя постоянными.

Коэффициенты С могут быть выражены через любые две из упругих постоянных, которые использовались ранее, напри­мер через модуль Юнга Y и отношение Пуассона s. На вашу долю оставляю показать, что

§ 3. Движения в упругом теле

Мы подчеркивали, что в упругом теле, находящемся в равно­весии, внутренние напряжения распределяются так, чтобы энергия была минимальной. Посмотрим теперь, что происходит, если внутренние силы не уравновешены. Возьмем маленький кусочек материала внутри некоторой поверхности А (фиг. 39.5).

Фиг. 39.5. Маленький элемент объема V, ограниченный поверхностью А,

Если этот кусочек находится в равновесии, то полная действую­щая на него сила Fдолжна быть равна нулю. Можно считать, что эта сила состоит из двух частей, одна из которых обуслов­лена «внешними» силами, подобными гравитации, действующими на расстоянии на вещество нашего кусочка и приводящими к величине силы на единицу объема f_внешн. Полная же внешняя сила F_внешн равна интегралу от f_внешн по всему объему кусочка:

В равновесии эти силы балансируются полной силой F_внутр, действующей по поверхности А со стороны окружающего материала. Когда же этот кусочек не на­ходится в равновесии, а движется, сум­ма внутренних и внешних сил будет равна произведению массы на ускорение. При этом мы получаем

где r—плотность материала, а а — его ускорение. Теперь мы можем скомбинировать уравнения (39.23) и (39.24) и написать

Нашу запись можно упростить, положив

Тогда уравнение (39.25) запишется в виде

Величина, названная нами F_внутр, связана с напряжениями в материале. Тензор напряжений S_ijбыл определен нами в гл. 31 таким образом, что x-компонента силы dF, действующей на эле­мент поверхности da с нормалью n, задается выражением

Отсюда х-компонента силы F_внутр, действующей на наш ку­сочек, равна интегралу от dF_xпо всей поверхности. Подстав­ляя это в x-компоненту уравнения (39.27), получаем

Оказалось, что поверхностный интеграл связан с интегра­лом по объему, а это напоминает нам нечто знакомое по главам об электричестве. Заметьте, что если не обращать внимания на первый значок х в каждом из S в левой части (39.29), то она выг­лядит в точности как интеграл от величины (S·n), т.е. нормаль­ной компоненты вектора по поверхности. Она была бы равна потоку S через объем. А используя теорему Гаусса, поток можно было бы записать в виде объемного интеграла от дивергенции S. На самом деле все это справедливо независимо от того, есть ли у нас индекс х или нет. Это просто математическая теорема, которая доказывается интегрированием по частям. Другими словами, уравнение (39.29) можно превратить в

Теперь можно отбросить интегралы по объему и написать дифференциальное уравнение для любой компоненты f:

Оно говорит нам, как связана сила, действующая на единицу объема с тензором напряжения S_ij.

Вот как работает эта теория внутренних движений твердого тела. Если первоначально нам известны перемещения, задавае­мые, скажем, вектором и, то можно найти деформации e_ij. Из деформаций с помощью уравнения (39.12) можно получить напряжения. Затем с помощью уравнения (39.31) мы из напряжений можем найти плотности сил f. А зная f, мы из уравнения (39.26) получаем ускорение r в материале, которое подскажет нам, как изменятся перемещения. Собирая все это вместе, мы получаем ужасно сложные уравнения движения упругого твердого тела. Я просто напишу вам ответ для изо­тропного материала. Если вы воспользуетесь для S_ijуравне­нием (39.20) и запишете e_ijв виде ¹/₂ (du_i/dx_j+du_j]dx_i), то окончательно получите векторное уравнение:

Вы можете очень просто убедиться в том, что уравнение должно иметь такую форму. Сила должна зависеть от второй производной — перемещения и. Но какие можно составить вторые производные и так, чтобы они были векторами? Одна из них С (С·u); это самый настоящий вектор. Есть еще только одна такая комбинация — это С²u. Так что наиболее общей формой силы будет

что как раз дает (39.32) с другим определением постоянных. Вас может удивить, почему у нас нет третьего слагаемого СXСXu, которое тоже вектор. Но вспомните, что СXСXu