Фейнмановские лекции по физике. 7. Физика сплошных сред

S — расстоянием вдоль кривой и

q— наклоном касательной к кри­вой (фиг. 38.17.)

Фиг. 38.17. Координа­ты кривой продольно изогнутой балки S и q.

Тогда кривизна будет равна скорости изменения угла с расстоянием

Поэтому точное уравнение (38.44) можно записать в виде

После взятия производной этого уравнения по S и замены dy/dS на sinq получим

[Если углы q малы, то мы снова приходим к уравнению (38.45), стало быть здесь все в порядке.

Не знаю, можете ли вы еще удивляться, но уравнение (38.47) получилось в точности таким же, как и для колебаний маятника с большой амплитудой (разумеется, с заменой F/YI другой постоянной). Еще раньше, в гл. 9 (вып. 1), мы узнали, как нахо­дить решение такого уравнения численным методом. В ответе вы получите очаровательную кривую. На фиг. 38.18 показаны три кривые для разных значений постоянной F/YI.

* Кстати, точно такое же уравнение возникает и в других физических ситуациях: например, в мениске на поверхности жидкости, заключенной между двумя параллельными стенками, а поэтому можно воспользоваться тем же самым геометрическим рассмотрением.

* Решение его можно выразить также через особые функции, называе­мые «эллиптическими функциями Якоби», которые когда-то раз навсегда были вычислены и протабулированы.

* Это и есть момент инерции пластинки единичной плотности и с единичной площадью сечения

Глава 39

УПРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ

§ 1. Тензор деформации

§ 2. Тензор упругости

§ З. Движения в упругом теле

§ 4. Неупругое поведение

§ 5. Вычисление упругих постоянных

§ 1. Тензор деформации

В предыдущей главе мы говорили о возму­щениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформа­ции в большом куске желе, скрученном и сжа­том каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сде­лать, задав в ней набор шести чисел — компо­нент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.

Предположим, что мы взяли недеформиро­ванный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятныш­ка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение г=(x, у, z), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение r'=(х', у', z'), как это показано на фиг. 39.1.

Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации пере­мещается в точку Р'.

Мы будем обозначать через и вектор перемещения из точки Р в точ­ку Р', т. е.

u = r'-r. (39.1)

Перемещение и зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от г или от (х, у, z).

Сначала рассмотрим простейший случай, ког­да деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из како­го-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направле­нии, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2).

Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.

Перемещение u_xпятнышка с координатой х пропорционально самому х.

Действительно,

Мы будем записывать u_xследующим образом:

и_x=е_ххх.

Разумеется, константа пропорциональности е_хх— это то же, что наше старое отношение Dl/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Если же деформация неоднородна, то связь между х и u_xв материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е_ххкак своего рода локальную величину Dl/l, т. е.

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдви­гов. Вообразите, что в перво­начально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3).

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

При такой дефор­мации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

а перемещение в направлении у пропорционально х:

u_y=(q/2)x. (39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

u_x=e_xyy u_у=e_yxx,

где

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обоб­щенную деформацию сдвига можно описать, определив вели­чины е_xyи е_yxследующим образом:

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что пере­мещения u_хи u_yимеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u_yстоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол q/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное поло­жение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше опре­деление деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если дu_y/дх и дu_x/ду равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е_ху=е_уx.