Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Чтобы вы смогли разобраться в других книгах по кванто­вой механике, мы сделаем небольшую техническую ремарку и познакомим вас с одним общепринятым обозначением. Операция сдвига по времени — это как раз та самая операция U^, о кото­рой мы как-то говорили:

Многие предпочитают язык бесконечно малых сдвигов по времени или бесконечно малых перемещений в пространстве или пово­ротов на бесконечно малые углы. Поскольку всякое конечное смещение или угол можно постепенно накопить последователь­ными бесконечно малыми смещениями или поворотами, то часто легче проанализировать сначала этот бесконечно малый случай. Оператор бесконечно малого сдвига Dt во времени есть (по определению гл. 6, вып. 8)

Тогда Н аналогично классической величине, которую мы име­нуем энергией, потому что если Н^|y> оказывается равным

постоянной, умноженной на |y>, а именно если Н^|y>=E|y>,

то эта постоянная есть энергия системы.

То же самое проделывается и с другими операциями. Если мы делаем легкое смещение по х, скажем на Dx, то состояние

|y>, вообще говоря, перейдет в некоторое новое состояние

|y'>. Мы можем написать

потому что, когда Dx стремится к нулю, |y'> обязано обратиться опять в |y>, или, что то же самое, D^_x(0)=1, а для малых Dx отклонение D^_x(Dx) от единицы должно быть пропорционально Dx. Оператор р_х, определенный таким путем, называется оператором импульса (естественно, для x-компоненты).

По тем же причинам для малых поворотов обычно пишут

и называют J^_z оператором z-компоненты момента количества движения. Для тех особых состояний, для которых R^_z(j)|y₀>=е^imj |y₀>, можно для каждого малого угла, скажем Dj, разложить правую часть до членов первого порядка по Dj и получить

Сравнивая это с определением J^_zпо формуле (15.28), приходим к

Иначе говоря, если вы действуете оператором J^_zна состояние с определенным моментом количества движения вокруг оси z, то получаете mh, умноженное на это состояние, где mh—коли­чество z-компоненты момента количества движения. Все совер­шенно аналогично тому, как действие Н^ на состояние с опреде­ленной энергией дает Е|y>.

Теперь хотелось бы перейти к некоторым приложениям идеи о сохранении момента количества движения, чтобы показать вам ее в действии. Дело в том, что в действительности все это очень просто. О том, что момент количества движения сохраняется, вы знали и раньше. Единственное, что вам нужно запомнить из этой главы, это что если у состояния |y₀> есть такое свойство, что при повороте на угол j вокруг оси z оно превращается в е^imj|y₀>, то z-компонента момента количества движения равна mh. Этих знаний достаточно, чтобы получить уйму инте­ресных вещей.

§ 4. Поляризованный свет

Прежде всего необходимо проверить одну идею. В гл. 9, § 4 (вып. 8), мы показали, что когда состояние правополяризованного по кругу света наблюдается из системы, повернутой на угол j вокруг оси z, то оно оказывается умноженным на е^ij. Не означает ли это, что фотоны правополяризованного по кругу света несут момент количества движения вдоль оси z, равный единице?

Да, так оно и есть. Это означает еще, что когда у нас имеется пучок света, содержащий множество фотонов, поголовно оди­наково поляризованных по кругу (как бывает в классических пучках), то он будет нести с собой какой-то момент количества движения. Если полная энергия, уносимая пучком за какое-то время, есть W, то в нем имеется N=W/hw фотонов. Каждый несет по моменту h, так что полный момент количества движения равен

J_z=Nh=W/w. (15.30)

Можно ли и в классике доказать, что свет, правополяризованный по кругу, несет с собой энергию и момент количества движения в пропорции W к w? Ведь если все правильно, это было бы классическое утверждение — случай, когда можно перейти от квантов к классике. Надо проверить, подтверждается ли это классической физикой. Тогда станет ясно, имеем ли мы право назвать т моментом количества движения. Припомним, чем в классическом смысле является правополяризованный свет. Он описывается электрическим полем с колеблющейся x-компонентой и колеблющейся y-компонентой, сдвинутыми по фазе на 90°, так что суммарный вектор x электриче­ского поля бежит по кругу (фиг. 15.5, а).

Фиг. I5.5. Электрическое поле x в поляризованной по кругу све­товой волне (а) и вращение элек­трона, приводимого в движение поляризованным по кругу светом (б). .

Теперь положим, что мы осветили таким светом стенку, способную поглотить его (или по крайней мере часть его), и рассмотрим один из атомов стенки, опираясь на классические представления. Мы часто представляли движение электрона в атоме в виде гармонического осциллятора, который приводится в дейст­вие внешним электрическим полем. Предположим, что атом изотропен, так что с равным успехом колеблется как в направлении х, так и в направлении у. Далее, у све­та, поляризованного по кру­гу, смещения по х и по у одинаковы, хотя и отстают друг от друга на 90°. В итоге электрон будет двигаться по кругу (фиг. 15.5, б). Он сместит­ся из положения равновесия в начале координат на величину г и начнет ходить по кругу, как-то отставая по фазе от вектора x. Связь между x и r может быть такая, как пока­зано на фиг. 15.5, б. Электрическое поле с течением времени поворачивается, но с такой же частотой поворачивается и сме­щение, так что относительная ориентация остается той же. Посмотрим теперь, какая работа производится над электроном. Скорость, с какой электрону подается энергия, равна его ско­рости v, умноженной на компоненту x_t, параллельную этой

скорости:

Но вы не можете не заметить, что у электрона в это время непре­рывно увеличивается и момент количества движения, потому что он все время испытывает действие момента, вращающего его вок­руг начала координат. Вращательный момент равен x_tr, и он обязан равняться скорости изменения момента количества движения dJ_z/dt:

Вспоминая, что v=wr, имеем

Следовательно, если проинтегрировать поглощаемый пол­ный момент количества движения, то он окажется пропорцио­нальным полной энергии, с коэффициентом пропорциональности 1/w, что согласуется с (15.30). Свет действительно несет с собой момент количества движения — одну единицу (Xh), когда он правополяризован по кругу вдоль оси z, и минус одну единицу, когда левополяризован.

Теперь зададим следующий вопрос: если свет линейно поля­ризован в направлении х, то чему равен момент количества движения? Свет, поляризованный в направлении х, может быть представлен суперпозицией право- и левополяризованного света. Поэтому имеется некоторая амплитуда того, что момент количества движения равен +h, и некоторая амплитуда того, что момент равен -h, так что определенного момента количества движения у него нет, а есть амплитуда появиться с +h, и такая же появиться с -h. Интерференция этих двух амплитуд создает линейную поляризацию, обладающую равной вероятностью оказаться с плюс или с минус одной единичкой момента количе­ства движения. Макроскопические измерения, проведенные над пучком линейно поляризованного света, покажут, что он несет нулевой момент количества движения, потому что среди боль­шого числа фотонов, несущих противоположные количества момента, окажется поровну правых и левых, и средний момент количества движения будет равен нулю. И в классической тео­рии вы не обнаружите никакого момента количества движения, разве что где-то окажутся следы какой-то круговой поляриза­ции.