Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Для каждого из них приведены элементы матрицы <j|R|i> по­воротов вокруг оси 2 или оси y. Они, конечно, в точности экви­валентны амплитудам типа <+Т|0S>, которыми мы поль­зовались в предыдущих главах. Под R_z(j) мы понимаем, что берется проекция состояния на новую систему координат, по­вернутую на угол j вокруг оси z, причем для определения направ­ления поворота всегда применяется правило правой руки; R_V(q) означает, что оси координат повернуты на угол 9 вокруг оси у. Зная эти два поворота, вы запросто сможете рассчитать любой поворот. Как обычно, матричный элемент пишется так, что со­стояние слева — это базисное состояние новой (повернутой) системы, а состояние справа — это базисное состояние старой (неповернутой) системы. Клетки таблицы можно истолковывать по-разному. К примеру, клетка e^ij/2 в табл. 15.1 означает, что матричный элемент < — |R|—> = е^-ij/2. Но это означает также, что R^| —>=е^-ij/2| — } или что

<— | R^=<— |e^-ij. Это все одно и то же.

* Вспомните, что спин — это аксиальный вектор и при отражении он переворачивается.

* Мы провели ось z' в плоскости xz и используем матричные элементы для R_y (q). То же получилось бы и при другом выборе осей.

* Мы сейчас предполагаем, что механизм квантовой механики вам настолько знаком, что обо всем можно говорить на чисто физическом языке, не тратя времени на расписывание всех математических деталей. Но если то, что мы здесь говорим, вам не очень ясно, то обратитесь к концу этого параграфа, где приведены некоторые недостающие детали.

* Мы попытались на худой конец доказать, что компонента момента количества движения вдоль направления движения у частицы с нулевой массой должна быть, например, кратной h/2, а не h/3. Но даже приведя в действие всевозможные свойства преобразований Лоренца (и многое дру­гое), мы с этим не справились. Может, этой не так. Надо было бы потол­ковать об этом с профессором Вигнером, который знает все о таких вещах.

* Прошу прощения! Этот угол имеет обратный знак по отношению к использовавшемуся в гл. 9, § 4.

** Как правило, момент количества движения атомной системы весьма удобно измерять в единицах h. Тогда можно говорить, что частица со спином ¹/₂ обладает по отношению к любой оси моментом количества движения ±¹/₂. И вообще, что z-компонента момента количества движе­ния есть т. Не приходится все время повторять h.

* Для большей строгости все эти рассуждения нужно было бы про­вести для малых поворотов e. Раз каждый угол j представляет собой сумму некоторого числа n таких поворотов, j=ne, то R^_z (j)=[R_z (e)]ⁿ, и общее изменение фазы в n раз превосходит изменение для малого угла 8 и поэтому пропорционально j.

* Точнее, мы определим R^_z(j) как поворот физической системы на -j вокруг оси z; это то же самое, что повернуть систему координат на +j.

** Мы всегда вправе выбрать ось z вдоль направления поля при усло­вии, конечно, что его направление не меняется и что больше полей нет.

* В других книгах вы можете встретить формулы с другими знаками; вероятнее всего, в них используются углы, определенные по-иному.

* Кстати, вы можете доказать, что Q^ — это обязательно унитарный оператор, т. е. если он действует на |y>, приводя к |y>, умноженному на некоторое число, то это число должно иметь вид е^id, где d — веществен­но. Это мелкое замечание, а доказательство основано на следующем наб­людении. Всякая операция наподобие отражения или поворота не приво­дит к потере каких-либо частиц, так что нормировки |y'> и |y> должны совпадать; отличаться они вправе только на множитель с чисто вещест­венной фазой в показателе.

Литература: А. Р. Эдмондс, Угловые мо­менты в квантовой механике, в кн. «Деформация атомных ядер», ИЛ, 1958.

Глава 16

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

§ 1. Электрическое дипольное излучение

§ 2. Рассеяние света

§ 3. Аннигиляция позитрония

§ 4. Матрица пово­рота для про­извольного спина

§ 5. Измерения ядерного спина

§ 6. Сложение моментов количества движения

Добавление 1. Вывод матрицы поворота

Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона

§ 1. Электрическое дипольное излучение

В предыдущей главе мы развили представле­ния о сохранении момента количества движения в квантовой механике и показали, как ими можно воспользоваться для предсказания угло­вого распределения протонов при распаде L⁰-частицы. Теперь мы хотим добавить еще несколько иллюстраций тех следствий, кото­рые вытекают из сохранения момента количест­ва движения в атомных системах. Первым при­мером послужит излучение света атомом. Сохра­нение момента количества движения (наряду с другими обстоятельствами) определит поляри­зацию и угловое распределение испускаемых фотонов.

Пусть имеется атом в возбужденном со­стоянии с определенным моментом количества движения, скажем со спином, равным 1; он, излучая фотон, переходит к состоянию с мо­ментом нуль при более низкой энергии. Задача в том, чтобы представить угловое распределе­ние и поляризацию фотонов. (Она очень похожа на задачу о распаде L⁰-частицы, но только те­перь спин равен не ¹/₂, a 1.) Раз у возбужденного состояния спин равен единице, то для z-компоненты момента имеются три возможности. Зна­чение т может быть или +1, или 0, или -1. Возьмем для примера m=+1. (Если мы раз­беремся в этом примере, то справимся и с други­ми.) Предположим, что момент количества движения атома направлен по оси +z (фиг. 16.1, а), и спросим, какова амплитуда того, что он излучит вверх по оси гправополяризованный по кругу свет, так что в результате его момент станет равным нулю (фиг. 16.1, б).

Фиг. 16.1. Атом с т = +1 излучает вдоль оси +z правый фотон.

Ответа на этот вопрос мы не знаем. Но зато мы знаем, что правополяризованный по кругу свет уносит вдоль направления своего распространения одну единицу мо­мента количества движения. Значит, после излучения фотона положение станет таким, как показано на фиг. 16.1, б, т. е. атом остался с нулевым моментом относительно оси z, поскольку мы предположили, что низшее состояние атома имеет спин нуль. Обозначим амплитуду такого события буквой а. Точнее, а будет обозначать амплитуду излучения фотона в некоторый узкий телесный угол DW, окружающий ось z, за время dt. За­метьте, что амплитуда излучения левого фотона в том же на­правлении равна нулю. У такого фотона момент относительно оси z был бы равен -1, а так как у атома он равен нулю, то и в сумме получилось бы -1, так что момент не сохранился бы. Точно так же, если спин атома вначале направлен вниз (-1 вдоль оси z), то он может излучать в направлении оси +z только левые фотоны (фиг. 16.2).