Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

[Посмотрите на формулу (15.4).] Теперь вообразите, что над всей системой мы проводим операцию Q^. Состояние |y₁> преобра­зится в состояние |y'₁>, которое также записывается в виде Q^|y₁>. А состояние |y₂> превращается в |y'₂>=Q^|y₂>. И вот, если физика симметрична относительно Q^ (не забывайте про это, если это отнюдь не общее свойство системы), тогда, подождав в тех же условиях то же время, мы должны получить

[Как в (15.5).] Но вместо |y'₁> можно написать Q^|y₁>, а вместо |y₂> написать Q^ |y₂>, так что (15.7) переписывается в виде

Теперь, если |y₂> заменить на U^ |y₁> [см. (15.6)], то получим

Нетрудно понять, что это значит. В отношении атома водорода это означает, что «отразить и после немного подождать» [правая часть (15.9)] — это то же самое, что «немного подождать, а после отразить» [левая часть (15.9)]. Они должны совпасть, если толь­ко U^при отражении не меняется.

А поскольку (15.9) справедливо при любом исходном со­стоянии | y ₁>, то на самом деле это уравнение для операторов

Это-то мы и хотели получить — математическую формулировку симметрии. Когда соблюдается (15.10), мы говорим, что операторы U^ и Q^ коммутируют. Тогда «симметрию» можно опреде­лить следующим образом: физическая система симметрична относительно операции Q^, когда Q^ коммутирует с U^ (с опера­цией прошествия времени). [На языке матриц произведение двух операторов равнозначно матричному произведению, так что (15.10) в системе, симметричной относительно преобразова­ния Q^, выполняется и для матриц Q^ и U^.]

Кстати, поскольку для бесконечно малого времени 8 мы имеем [7=1 — iH^e/h, где H^ — обычный гамильтониан [см. гл. 6 (вып. 8)1, то легко видеть, что когда (15.10) выполнено, то вы­полнено и

Так что (15.11) есть математическая формулировка условий на симметричность физической ситуации относительно оператора Q^. Она определяет симметрию.

§ 2. Симметрия и ее сохранение

Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия опера­тора Q^ на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние |y'>=Q^|y₀>. физически совпадает с состоянием |y₀>. Это значит, что |y'> равняется |y₀>, если не считать не­которого фазового множителя. Как это себе представлять? Пусть, например, имеется ион H⁺₂ в состоянии, которое мы когда-то обозначали |I>. У этого состояния имеется одинаковая ам­плитуда побывать в базисных состояниях |1> и |2>. Вероят­ности показаны столбиками на фиг. 15.3, а.

Фиг. 15.3. Состояние |I> и состояние P^|I>, получае­мые отражением |I> в плоскости, проходящей посреди­не между атомами в ионе Н₂⁺.

Если мы на состояние |I> подействуем оператором отраже­ния Р^, он перевернет его, поменяв местами |1> с|2>, а |2> с|1>; полу­чатся вероятности, по­казанные на фиг. 15.3,б. Перед нами опять состояние |I>. Если начать с состояния |II>, то вероятности до и после отражения будут выглядеть тоже одинаково. Правда, если посмотреть на ампли­туды, то разница все же есть. У состояния |I> после отраже­ния амплитуды останутся теми же, у состояния | //) они приобретут противоположный знак. Иными словами,

Если написать

Возьмем другой пример. Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении z. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси z, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на e^ij, где j — угол поворота. Значит, в этом случае для операции поворота 8 просто равно углу поворота.

Далее, ясно, что если оказывается верным, что оператор Q^ в какой-то момент времени просто меняет фазу состояния (ска­жем, в момент t=0), то это будет верно всегда. Иначе говоря, если состояние |y₁> переходит за время t в состояние |y₂>:

и если симметрия физической картины такова, что

то верно и то, что

Это ясно, ведь

[Верхние равенства следуют из (15.13) и (15.10) для симметричной системы, нижние — из (15.14) и из того, что всякое число, скажем е^id, коммутирует с оператором.]

Итак, при некоторых симметриях то, что верно сначала, вер­но всегда. Но разве это не закон сохранения? Да! Он утверждает, что если вы взглянете на исходное состояние и, проделав где-то встороне небольшой подсчет, откроете, что операция, которая является операцией симметрии для системы, приводит только к умножению на некоторый фазовый множитель, то вы будете уверены, что это же свойство будет выполнено для конечного состояния — та же операция умножит и конечное состояние на тот же фазовый множитель. Это будет верно всегда, даже если вы ничего не знаете о том внутреннем механизме мира, который изменяет систему от начального состояния к конечному. Даже если вы не позаботились вглядеться в детали того, каким именно способом система переходит от одного состояния к другому, вы все равно имеете право говорить, что если вещь вначале находилась в состоянии с определенным характером симметрии и если гамильтониан этой вещи симметричен отно­сительно этой операции симметрии, тогда тот же характер симметрии останется у состояния на вечные времена. Это основа всех законов сохранения квантовой механики.

Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор Р^. Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р. Пусть Р^ будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зер­кало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию Р^ таким обра­зом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в -z, x остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в -х, а у в -у. Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоско­сти происходит отражение, достаточно лишь указать точ­ку, являющуюся центром симметрии.