Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

Перепишем (3.18) и (3.19) в улучшенных обозначениях. Пусть i обозначает любое из трех состояний (+Т), (0Т)и (-Т); тогда уравнения можно написать так:

и

Точно так же в опыте, в котором S' заменяется совершенно произвольным фильтром R, мы имеем

S Т R Результаты будут всегда такими же, как если бы прибор Т убрали и осталось бы только

Или на математическом языке

Это и есть наш основной закон, и он справедлив всегда, если только i обозначает три базисных состояния любого фильтра. Заметьте, что в опыте (3.22)никакой особой связи между S, R и Т не было. Более того, рассуждения остались бы теми же независимо от того, какие состояния эти фильтры отбирают. Чтобы написать уравнение в общем виде без ссылок на какие-то особые состояния, отбираемые приборами S и R, обозначим через j состояние, приготовляемое первым прибором (в нашем частном примере +S), и через c — состояние, подвергаемое испытанию в конечном фильтре (в нашем примере +R). Тогда мы можем сформулировать наш основной закон (3.23) так:

где i должно пробегать по всем трем базисным состояниям некоторого определенного фильтра.

Хочется опять подчеркнуть, что мы понимаем под базисными состояниями. Они напоминают тройку состояний, которые мож­но отобрать с помощью одного из наших приборов Штерна — Герлаха. Одно условие состоит в том, что если у вас есть ба­зисное состояние, то будущее не зависит от прошлого. Другое условие — что если у вас есть полная совокупность базисных состояний, то формула (3.24) справедлива для любой сово­купности начальных и конечных состояний j и c. Но не сущест­вует никакой особой совокупности базисных состояний. Мы на­чали с рассмотрения базисных состояний по отношению к при­бору Т. В равной мере мы бы могли рассмотреть другую совокуп­ность базисных состояний — по отношению к прибору S, к прибору R и т. д. Мы обычно говорим о базисных состояниях «в каком-то представлении».

Другое требование к совокупности базисных состояний (в том или ином частном представлении) заключается в том, что им положено полностью отличаться друг от друга. Под этим мы понимаем, что если имеется состояние (+T), то для него нет амплитуды перейти в состояние (О Т) или (-Т). Если i и j обозначают два базисных состояния в некотором представлении, то общие правила, которые мы обсуждали в связи с (3.8), го­ворят, что

<j|i>=0

для любых неравных между собой i и j. Конечно, мы знаем, что

<i|i>=1.

Эти два уравнения обычно пишут так:

где d_ij («символ Кронекера») — символ, равный по определению нулю при i№j и единице при i=j.

· Уравнение (3.25) не независимо от остальных законов, о кото­рых мы упоминали. Бывает, что нас не особенно интересует математическая задача поиска наименьшей совокупности неза­висимых аксиом, из которых все законы проистекут как след­ствия. Нам вполне достаточно обладать совокупностью, кото­рая полна и по виду непротиворечива. Однако мы беремся пока­зать, что (3.25) и (3.24) не независимы. Пусть j в (3.24) пред­ставляет одно из базисных состояний той же совокупности, что и i, скажем j-e состояние; тогда мы имеем

Но (3.25) утверждает, что <i|j> равно нулю, если только i не равно j, так что сумма обращается просто в <c|j} и полу­чается тождество, что говорит о том, что эти два закона не не­зависимы.

Можно видеть, что если справедливы оба уравнения (3.25) и (3.24), то между амплитудами должно существовать еще одно соотношение. Уравнение (3.10) имело вид

Если теперь посмотреть на (3.24) и предположить, что и j, и c — это состояние (+S), то слева получится <+S|+S>, а это, конечно, равно единице, и мы должны получить (3.19)

Эти два уравнения согласуются друг с другом (для всех относи­тельных ориентации приборов Т и S) только тогда, когда

Стало быть, для любых состояний j и c

Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы».

Прежде чем идти дальше, соберем все три общих закона для амплитуд, т. е. (3.24) —(3.26):

В этих уравнениях i и j относятся ко всем базисным состояниям какого-то одного представления, тогда как j и c — это любое возможное состояние атома. Важно отметить, что закон II справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: +Т, 0Т, -Т). Эти законы ничего не говорят о том, что сле­дует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора Т, ко­торый является опытом Штерна — Герлаха с какой-то произ­вольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем W, тоже подошла бы. Вместо i и j нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы оста­лись бы правильными; какой-то единственной совокупности не существует. Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями.

§ 6. Механика квантовой механики

Мы покажем вам сейчас, почему полезны эти законы. Пусть у нас есть атом в заданном состоянии (под этим мы подразумеваем, что он как-то был приготовлен), и мы хотим знать, что с ним бу­дет в таком-то опыте. Иными словами, мы начинаем с состояния j атома и хотим знать, каковы шансы, что он пройдет через при­бор, который пропускает атомы только в состоянии c. Законы го­ворят, что мы можем полностью описать прибор тремя комплексными числами <c|i> — амплитудами того, что каждое из базисных состояний окажется в состоянии c, и что мы, пустив атом в прибор, можем предсказать, что произойдет, если опишем состояние атома, задав три числа <i|j>,— амплитуды того что атом из своего первоначального состояния перейдет в лю­бое из трех базисных состояний. Это очень и очень важная идея, Рассмотрим другую иллюстрацию. Подумаем о следующей задаче. Начинаем с прибора S, затем имеется какая-то сложная мешанина, которую мы обозначаем A, а дальше стоит прибор R:

Под А мы подразумеваем любое сложное расположение прибо­ров Штерна — Герлаха — с перегородками и полуперегород­ками, под всевозможными углами, с необычными электрически­ми и магнитными полями,— словом, годится все, что вам придет в голову. (Очень приятно ставить мысленные эксперименты — тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реаль­ном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область A в состоянии (+S), выйдет из него в состоянии (0R), так что сможет пройти через последний фильтр R? Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды: