Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

Второй повернут, относительно первого на угол a.

Такой при­бор мы обозначим буквой Т. Пусть мы теперь предприняли следующий опыт:

или такой опыт:

Что в этих случаях выйдет из дальнего конца?

Ответ таков. Если атомы по отношению к S находятся в опре­деленном состоянии, то по отношению к Т они не находятся в том же состоянии, состояние (+S) не является также и состоя­нием (+T). Однако имеется определенная амплитуда обна­ружить атом в состоянии (+Т), или в состоянии (О Т), или в состоянии (-Т).

Иными словами, как бы досконально мы ни убедились, что наши атомы находятся в определенном состоянии, факт остается фактом, что, когда такой атом проходит через прибор, наклоненный под другим углом, он вынужден, так сказать, «переориентироваться» (что происходит, не забывайте, по зако­нам случая). Если пропускать в каждый момент по одной части­це, то вопрос можно будет ставить только таким образом: какова вероятность того, что она пройдет насквозь? Некоторые прошед­шие сквозь S атомы очутятся в конце в состоянии (+Т), дру­гие — в состоянии (0Т), третьи — в состоянии (-Т), и каж­дому состоянию отвечает своя вероятность. Эти вероятности можно вычислить, зная квадраты модулей комплексных ампли­туд; нам нужен математический метод для этих амплитуд, их квантовомеханическое описание. Нам нужно знать, чему равны различные величины типа

<-T+S>;

под этими выражениями мы подразумеваем амплитуду того, что атом, первоначально бывший в состоянии (+S), может перейти в состояние (-Т) (что не равно нулю, если только S и Г не параллельны друг другу). Имеются и другие амплитуды, например

<+T|0S> или <0T|-S> и т. д.

Таких амплитуд на самом деле девять — это тоже матрица, и теория должна сообщить нам, как их вычислять. Подобно тому как F = ma сообщает нам, как подсчитать, что бывает в любых обстоятельствах с классической частицей, точно так же и законы квантовой механики позволяют нам определять ам­плитуду того, что частица пройдет через такой-то прибор. Центральный вопрос тогда заключается в том, как сосчитать для каждого данного угла а или вообще для какой угодно ориен­тации девять амплитуд:

Некоторые соотношения между этими амплитудами мы сразу можем себе представить. Во-первых, согласно нашим определениям, квадрат модуля

— это вероятность того, что атом, бывший в состоянии ( +S), придет в состояние (+Т). Такие квадраты удобнее писать в эквивалентном виде

В тех же обозначениях число

дает вероятность того, что частица в состоянии (+S) перей­дет в состояние (0T), а

— вероятность того, что она перейдет в состояние (-Т). Но наши приборы устроены так, что каждый атом, входящий в прибор Т, должен быть найден в каком-то одном из трех со­стояний прибора Т',— атомам данного сорта нет других путей. Стало быть, сумма трех только что написанных вероятностей должна равняться единице. Получается соотношение

Имеются, конечно, еще два таких же уравнения для случаев, когда вначале было состояние (0S) или (-S). Их очень легко написать, так что мы переходим к другим общим вопросам.

§ 3. Последовательно соединенные фильтры Штерна — Герлаха

Пусть у нас есть атомы, отфильтрованные в состояние (+S), которые мы затем пропустили через второй фильтр, переведя, скажем, в состояние (О Т), а затем — через другой фильтр (+S). (Обозначим его S', чтобы не путать с первым фильтром S.) Вспомнят ли атомы, что они уже раз были в со­стоянии (+S)? Иначе говоря, мы ставим такой опыт:

и хотим знать, все ли атомы, прошедшие сквозь Т, пройдут и сквозь S'. Нет. Как только они пройдут фильтр Т, они сразу же позабудут о том, что, входя в Т, они были в состоянии (+S). Заметьте, что второй прибор S в (3.11) ориентирован в точности так же, как первый, так что это по-прежнему фильтр типа S. Состояния, выделяемые фильтром S',— это, конечно, все те же (+S), (0S) и (-S).

Здесь существенно вот что: если фильтр Т пропускает толь­ко один пучок, то та доля, пучка, которая проходит через второй фильтр S, зависит только от расположения фильтра Т и совер­шенно не зависит от того, что было перед ним. Тот факт, что те же самые атомы однажды уже были отсортированы фильтром S, никак и ни в чем не влияет на то, что они будут делать после того, как прибор Т снова отсортирует их в чистый пучок. От­сюда следует, что вероятность перейти в те или иные состояния для них одна и та же безотносительно к тому, что с ними слу­чалось до того, как они угодили в прибор Т, Для примера сравним опыт (3.11) с опытом

в котором изменилось только первое S. Пусть, скажем, угол a (между S и Т) таков, что в опыте (3.11) треть атомов, прошед­ших сквозь Т, прошла также и через S'. В опыте (3.12), хоть в нем, вообще говоря, через Т пройдет другое число атомов, но через S' пройдет та же самая, часть их — одна треть.

Мы можем на самом деле показать, опираясь на то, чему мы научились раньше, что доля атомов, которые выходят из Т и проходят через произвольный определенный фильтр S', зависит лишь от Т и S', а не от чего бы то ни было происходившего ра­нее. Сравним опыт (3.12) с

Амплитуда того, что атом, выходящий из S, пройдет и сквозь Т, и сквозь 6", в опыте (3.12) равна

<+S|0T><0T|0S>.

Соответствующая вероятность такова:

а вероятность в опыте (3.13)

Их отношение

зависит только от Т и S' и совсем не зависит от того, какой пу­чок (+S), (0S) или (-S) был отобран в S. (Абсолютные же количества могут быть большими или меньшими, смотря по тому, сколько прошло через Т.) Мы бы получили, конечно, аналогичный результат, если бы сравнили вероятности того, что атомы перейдут в плюс- или минус-состояние (по отноше­нию к S'), или отношения вероятностей перейти в нуль- или минус-состояние.

Но раз эти отношения зависят только от того, какой пучок может пройти сквозь Т, а не от отбора, выполненного первым фильтром S, то становится ясно, что тот же результат получил­ся бы, если бы последний прибор даже не был фильтром S. Если в качестве третьего прибора (назовем его R) мы используем прибор, повернутый относительно Т на некоторый произволь­ный угол, то все равно увидим, что отношения типа