Открытие без границ. Бесконечность в математике

Если длинный путь точки F не закончится на бесконечности и продолжится дальше, эта точка совершит разворот в пространстве и снова появится слева от F' — в этом случае мы получим гиперболу. Иначе говоря, чтобы перейти от эллипса к гиперболе, нужно взять эллипс за концы, как за ручки, и согнуть, как показано на рисунке:

Гиперболу можно получить преобразованием эллипса. Для этого можно представить, что мы взялись за точки А и В обеими руками, как за руль автомобиля, и сложили эллипс, направив руки к себе. Таким образом, точка А перейдёт в А', В — в В'.

Человек, расположенный лицом к нам, увидит у нас в руках две ветви гиперболы.

Единственная проблема заключается в том, что для этого преобразования требуется выполнить поворот, пройти через бесконечность, вернуться в исходное положение и взглянуть на эллипс, как будто ничего не произошло. Как могло случиться, что Кеплер, который считал, что Вселенная конечна, и был противником всех философских и математических теорий, в которых рассматривалась актуальная бесконечность, смог не моргнув глазом описать подобное преобразование? Говоря прямо, Кеплер переходил от одной теории к другой в соответствии с практическими интересами. Разумеется, мы говорим об интересах прикладной математики.

Понятие непрерывного отображения, которое мы схематично описали, впоследствии стало фундаментальным в проективной геометрии. Основная идея заключается в следующем: допустим, что мы обнаружили некоторое геометрическое свойство эллипса. Если мы будем перемещать один из его фокусов так, как мы объяснили выше, это свойство должно сохраниться. При перемещении фокуса эллипс будет становиться более или менее вытянутым. Если преобразование является непрерывным, настанет момент, когда это же свойство будет применимо к окружности, параболе или гиперболе.

Приём непрерывного изменения позднее использовал Блез Паскаль (1623–1662) в случае правильных многоугольников: он преобразовывал, например, шестиугольник в пятиугольник, непрерывно сдвигая две вершины по направлению друг к другу, пока они не совпадут.

Как Кеплер решил проблему, возникающую при использовании этого метода при переходе к бесконечности? Он рассуждал так: прямая бесконечно продолжается с обоих концов, пока они не совпадут в одной точке. Для Кеплера Вселенная была конечной, но очень, очень, очень большой. Достаточно большой, чтобы вместить в себя всё необходимое, и даже больше, но всё-таки конечной.

Как бы то ни было, важно не только то, что Вселенная считалась достаточно большой, чтобы вместить в себя изгибающуюся прямую, концы которой, после того как охватят всё сущее, совпадают (похожей идеи в некотором роде придерживался и Альберт Эйнштейн при формулировке понятия пространства-времени). Более важно, что Кеплер аккуратно подошёл к понятию непрерывного преобразования.

Квадратуры

Термин «квадратура» означает построение квадрата, равного по площади данной фигуре. Задача о вычислении площадей всегда была одной из самых популярных задач прикладной математики. Известны сравнительно простые способы вычисления площадей плоских фигур, ограниченных отрезками прямых. Теорема Пифагора и геометрия Евклида позволили вычислять площади треугольников и всевозможных прямоугольников. Более сложные фигуры можно было разбить на треугольники и прямоугольники. Для этого требовались немалые знания и умения, однако в большинстве случаев эта задача имела решение. Задача существенно усложнялась, если некоторые стороны фигуры были криволинейными — приёмы вычисления их площадей не были известны. Греки производили подобные расчёты, однако им не удалось избавиться от неудобств, вызванных присутствием актуальной бесконечности.

Почему как только фигура перестаёт быть прямолинейной, в расчётах её площади начинает фигурировать бесконечность и возникают связанные с этим проблемы?

Причина в том, что кривая линия представляется как бесконечная последовательность отрезков прямой, или, что равносильно, прямая представляется как результат аппроксимации незамкнутыми кривыми, как показано на рисунке.

По мере спрямления кривых расстояние между ними и прямой уменьшается, особенно в окрестности точки Р. На бесконечности прямая и кривая совпадают.

Представим себе прямую, произвольную точку Р на этой прямой и ряд кривых, касающихся прямой в точке Р, кривизна которых постепенно уменьшается, и они всё больше приближаются к прямой. Очевидно, что сколько бы кривых, касающихся прямой в точке Р, мы ни рисовали, ни одна из них не будет совпадать с исходной прямой. Можно представить, что это всё-таки произошло, и бесконечные кривые в итоге совпали с прямой. Потенциально это возможно, но «актуально» (здесь мы делаем отсылку к актуальной бесконечности) мы не располагаем каким-либо чётким методом для реализации этого. Вновь возникает вопрос о переходе к бесконечности как к чему-то конкретному и вызванные им радикальные изменения. Кривые, которые всё больше приближаются к прямой, обладают общим свойством: для всех них можно определить величину, которая будет числовой характеристикой их кривизны.

В пределе, когда кривые превращаются в прямую, эта величина исчезает (можно говорить о кривых нулевой кривизны) — в этом и заключается тот самый радикальный переход, о котором мы говорим. Именно по этой причине бесконечность ассоциируется с загадкой творения. В какой-то, недоступный нам, момент времени в определённой точке пространства происходит преобразование, и одна из кривых превращается в прямую. Мы говорим «одна из кривых» не в буквальном смысле, поскольку не существует «последней кривой», так как в этом случае понятие бесконечно малого исчезает и непрерывный процесс сменяется дискретным переходом от последней кривой к прямой. Этот акт творения оказал огромное влияние на научную мысль ввиду сопутствовавших ему философских и религиозных коннотаций и определил границы запретной темы как в философии, так и в религии. Возможно, было бы разумнее говорить о мутации, а не о творении, что ближе к восточной философии, где религиозная мысль теснее связана с философской. В этом смысле более уместно и, возможно, более точно было бы говорить, что кривая мутирует в прямую.

Евдокс

Евдокс (ок. 408–355 гг. до н. э.) наряду с Архимедом (ок. 287–212 гг. до н. э.), Пифагором (570–500 гг. до н. э.) и Евклидом (ок. 325–265 гг. до н. э.) был одним из важнейших представителей греческой математики. В области концептуальной математики он, вне всяких сомнений, намного превосходил всех остальных.

В те времена греческая математика всё ещё переживала удар, вызванный открытием иррациональных чисел, несоизмеримых с целыми. Ясного критерия для сравнения величин разной природы не существовало. Евдокс первым дал этому чёткое определение (определение 5 книги V «Начал» Евклида): «Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке».

В переводе на более современный язык это означает, что два отношения a/b и c/d равны, если для двух любых натуральных чисел k и k' выполняется условие:

если k∙a < k'∙b, то k∙c < k'∙d;

если k∙a = k'∙b, то k∙c = k'∙d;