Открытие без границ. Бесконечность в математике

В контексте этой книги важнее всего, что художники помещали бесконечность на плоскость картины, превратив в нечто актуальное то, что до этого в геометрии считалось лишь потенциальным. Напомним, что Аристотель считал прямую существующей лишь потенциально, но уже Евклид определял её как отрезок, который можно продолжать бесконечно, и использовал это определение во всех построениях и доказательствах. Этой же формулировке следовали все геометры XVII столетия.

Тем не менее на картинах художников и в чертежах архитекторов XV века появляется точка, которая называется точкой схода. Так возникла центральная перспектива. Эту точку, в которой сходятся параллельные прямые, можно считать точкой, расположенной на актуальной бесконечности. Благодаря этой перспективе таким художникам, как Леон Баттиста Альберти (1404–1472), Филиппо Брунеллески (1377–1446) и Пьеро делла Франческа (1416–1492), которые основывались на трудах древнегреческих геометров, удалось создать ощущение трёхмерного изображения.

От перспективы к проекции

Кто-нибудь хоть раз видел две параллельные прямые? Можно с уверенностью сказать: «Нет». На этот вопрос очень просто ответить, особенно если ему предшествует вопрос, на который также можно ответить категорическим нет: «Кто-нибудь хоть раз видел прямую?» Её никто никогда не видел, так как прямая бесконечна. Максимум, что можно представить, — это отрезок прямой, пусть даже очень длинный, но не бесконечный. Если говорить о параллельных прямых, то максимум, что мы можем увидеть, — это изображение в перспективе, которое мы видим, когда смотрим на очень длинный участок, например, железнодорожных путей. Но мы видим (или же нам кажется) две прямые, которые сходятся в удалённой точке, расположенной на горизонте. Эту точку, в которой, как нам кажется, сходятся прямые, можно считать оптической иллюзией, так как её нельзя достичь, сколько бы мы ни ехали вперёд. С этой ситуацией ежедневно сталкивается, например, машинист скоростного поезда, когда движется в направлении бесконечности со скоростью триста километров в час. Можно быть уверенным, что преследование точки на бесконечности имеет столько же смысла, сколько погоня за собственной тенью.

Что произойдёт, если параллельных прямых будет не две, а три, десять, двадцать? Мы получим то, что в геометрии называется пучком прямых, и, что более важно, определим направление. Представим, что в нашей плоскости мы рассматриваем точку на бесконечности (одну из точек, в которых сходятся две параллельные прямые). Каждой из этих точек мы можем присвоить направление на плоскости.

В этом случае все точки на бесконечности будут представлять различные направления на плоскости. Прямую, образованную этими бесконечно удалёнными точками, можно назвать бесконечно удалённой прямой. Так мы несколько примитивным способом представили читателю один из интереснейших и красивейших разделов математики — проективную геометрию.

Её основная идея заключается в том, что две параллельные прямые или две параллельные плоскости (в аффинной геометрии они объединены общим термином «многообразие») не имеют общих точек. Единственное, что их объединяет, — общее направление. Это поняли уже геометры Возрождения, так как они работали с представлениями в трёхмерном пространстве.

Идея использовать бесконечно удалённую точку принадлежит Иоганну Кеплеру (1571–1630), который стремился создать единую теорию конических сечений (он расположил второй фокус параболы на бесконечности). Более систематически эту идею изложил Жирар Дезарг (1591–1661), которого можно считать одним из отцов-основателей проективной геометрии, получившей полноценное развитие лишь в XIX веке усилиями французского математика Гаспара Монжа (1746–1818).

Непрерывные преобразования

Понятие бесконечной делимости тесно связано с понятием непрерывности. Этот вопрос достаточно сложен и необычен. В прошлой главе вы увидели, что означает непрерывное как противоположность дискретному. Теперь мы попытаемся рассмотреть непрерывное с несколько иной точки зрения. Наиболее интуитивно понятное определение непрерывного звучит так: линия является непрерывной, если мы можем изобразить её, не отрывая карандаша от бумаги. Понятие непрерывности также применимо к преобразованиям. Допустим, что дан параллелограмм, подобный изображённому на рисунке:

и мы хотим превратить его в квадрат с помощью непрерывного преобразования:

Нужно представить, что стороны фигуры изготовлены из деформируемого материала, например резины, и мы можем перейти от одной фигуры к другой, не ломая её сторон.

В 1604 году Кеплер опубликовал небольшое сочинение «Оптическая часть астрономии» как дополнение к трактату по астрономии, где он представил необходимую теорию для изготовления оптических инструментов. Кеплер изучал конические сечения и возможные непрерывные преобразования одних сечений в другие. Напомним, что конические сечения — это плоские геометрические фигуры, получаемые сечением конуса плоскостью, как показано на следующей иллюстрации.

Аполлоний в своей книге «Конические сечения» определил эти фигуры как геометрические места плоскости. Его определение было абсолютно корректным, но чтобы понять его, требовались особые знания геометрии. Метод Кеплера, напротив, более понятен и обеспечивает более наглядное геометрическое представление.

Его формулировка звучит так: если мы разрежем двухсторонний конус (состоящий из двух бесконечно больших конусов, ориентированных в противоположные стороны, которые имеют общую ось и вершины которых совпадают) плоскостью, перпендикулярной оси, то получим окружность. Если мы слегка наклоним эту плоскость, то окружность превратится в эллипс, который будет увеличиваться с ростом угла наклона плоскости. Если мы продолжим наклонять плоскость, то наступит момент, когда она станет параллельна образующей конуса. В этом случае сечением будет парабола. Когда же, наконец, плоскость станет параллельна оси конуса, мы получим в сечении две ветви гиперболы. Эти кривые (эллипс, парабола и гипербола) получили название конических сечений (окружность обычно считается частным случаем эллипса). Существуют и другие способы сечения конуса плоскостью, при которых получаются так называемые вырожденные конические сечения (две прямые).

Можно представить, что плоскость, рассекающая конус, движется непрерывно, без скачков. Если бы мы могли наглядно изобразить преобразование сечения, то увидели бы, как эллипс превращается, например, в окружность или гиперболу.

Кеплер определил эти преобразования на плоскости, начав с эллипса.

Напомним, что эллипс — это коническое сечение, которое можно определить как геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных фиксированных точек, называемых фокусами, постоянна. Допустим, что фокусами эллипса, который мы хотим преобразовать, являются точки F и F' — две точки, расположенные на большой оси эллипса. Если мы будем непрерывно сдвигать F вдоль большой оси в сторону F' эксцентриситет эллипса будет уменьшаться, пока F и F' не совпадут, и эллипс не превратится в окружность.

Если теперь мы будем сдвигать фокус F в сторону, противоположную F' эксцентриситет эллипса будет расти, а сам эллипс — сплющиваться (эксцентриситет — это величина, принимающая значения от 0 до 1, которая указывает, насколько эллипс по форме отличается от окружности). В определённый момент эллипс превратится в параболу — коническое сечение с единственным фокусом. Аполлоний определял параболу как геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.