По следам бесконечности

Виктор Комаров

ПО СЛЕДАМ БЕСКОНЕЧНОСТИ

ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ

Человечество успешно осваивает космос. Все дальше от Земли уходят космические аппараты, все глубже в таинственные недра Вселенной проникают современные телескопы и радиотелескопы. Уже сегодня научному исследованию доступна колоссальная область пространства с поперечником около 20 миллиардов световых лет [1].

Проведенные в последнее время исследования космических объектов, расположенных у границ наблюдаемой Вселенной, показывают, что с увеличением расстояния число таких объектов постепенно уменьшается. На расстояниях порядка 8-10 миллиардов световых лет их совсем мало…

И невольно с новой силой возникает вечный вопрос, издавна волнующий мыслителей и ученых: бесконечна ли Вселенная?..

Среди естественнонаучных проблем есть проблемы, исследование которых тесно связано с развитием всего естествознания и человеческой мысли вообще. Каждый серьезный успех, достигнутый в процессе их изучения, открывает новые горизонты, способствуя прогрессу земной цивилизации.

К числу подобных проблем относится и проблема бесконечности, в частности бесконечности Вселенной.

Бесконечность, одно из самых удивительных научных понятий, неизменно привлекает внимание человека. Выть может, это объясняется тем, что в повседневной жизни нам всегда приходится иметь дело только с конечными величинами, с конечным числом тех или иных объектов. Бесконечность манит человека своей необычностью и даже таинственностью. И дело не только в том, что бесконечность трудно, а точнее — невозможно себе представить. Бесконечные множества обладают многими свойствами, которые противоречат нашему привычному опыту.

Бесконечность породила в науке парадоксальные ситуации, которые состоят в том, что признание ее существования вызывает, казалось бы, непреодолимые трудности, а отказ от нее ведет к трудностям еще большим.

И тем не менее бесконечность — это вполне реальное свойство или совокупность свойств окружающего нас мира, и как всякое реально существующее свойство она доступна научному познанию и может быть изучена как качественно, так и количественно. С бесконечностью встречаются и бесконечность изучают не только математика, но и физика, и астрономия, и философия.

По существу, идея бесконечного пронизывает всю историю познания человеком окружающего мира и своего места в нем.

С обыденной точки зрения бесконечность — это нечто чрезвычайно расплывчатое, аморфное, ускользающее, лишенное четкой определенности, не допускающее ни точного измерения, ни сопоставления. Бесконечность — и этим все сказано…

В действительности же науке известны различные и притом совершенно конкретные типы бесконечности. Прежде всего это практическая бесконечность. Речь идет о таких больших величинах, которые формально хотя и конечны, по в рамках той иди иной задачи фактически настолько велики или малы, что воспринимаются как практически бесконечные. Скажем, с точки зрения ядерной физики расстояние в один микрон бесконечно велико, а с точки зрения астрономии расстояние в один сантиметр бесконечно мало. С такого рода бесконечностью современному естествознанию приходится встречаться в большинстве физических приложений математики. Поэтому ее можно еще назвать физической.

Однако практическая, или физическая, бесконечность — это все-таки еще не бесконечность в строгом значении этого слова. Наиболее простая и, если можно так сказать, наглядная бесконечность — бесконечность чисел натурального ряда. К ней примыкает так называемая теоретико-множественная бесконечность, то есть разного рода множества, содержащие бесконечное число элементов.

В геометрии и астрономии рассматривается метрическая бесконечность — такие пространственные многообразия, площади или объемы которых нельзя выразить конечным числом.

Существует и еще один бесконечный процесс — бесконечное приближение числовой последовательности к некоторому пределу. И это не только чисто математическая конструкция. С такого рода процессами наука встречается и в природе. Скажем, можно как угодно близко подойти к абсолютному нулю температуры или к скорости света в пустоте, но мы никогда в реальном физическом процессе не достигнем этих мировых констант в точности.

Возможен и такой тип бесконечности, как бесконечная делимость. Например, бесконечная делимость пространства и времени.

Один из важнейших типов бесконечности, являющийся предметом философского анализа и исследования, — неисчерпаемость реального мира. С одной стороны, это бесконечность числа физических явлений и условий, которые реализуются в природе, а с другой — бесконечный характер процесса познания мира человеком.

Таким образом, проблема бесконечности — это очень сложная комплексная проблема. Понятие бесконечности имеет богатое и разнообразное содержание. И на разных этапах развития науки различные ее области выдвигают на первый план те или иные типы бесконечности.

Итак, бесконечность вовсе не условная математическая конструкция — она отражает реальные свойства окружающего нас мира. И не случайно чуть ли не вся история математики, физики и астрономии самым тесным образом переплетается с исследованием проблемы бесконечного.

Одним из фундаментальных вопросов науки, непосредственно связанных с проблемой бесконечности, является вопрос о геометрических свойствах Вселенной.

Великие философы древности пытались решить этот вопрос с помощью сравнительно простых и, казалось бы, на первый взгляд неопровержимых логических рассуждений.

Представим себе, говорили они, что у Вселенной есть край и человек достиг этого края. Стоит ему только вытянуть руку — и она окажется за границами Вселенной. Но тем самым рамки материального мира раздвигаются еще на некоторое расстояние. Тогда можно будет приблизиться к новой границе и повторить ту же операцию еще раз. И так без конца. Значит, Вселенная не может иметь границ.

«Нет никакого конца ни с одной стороны у Вселенной, ибо иначе края непременно она бы имела», — писал Лукреций Кар в своей поэме «О природе вещей».

И действительно, если необычайно трудно, почти невозможно представить себе пространство, которое в любом направлении простирается безгранично далеко, то еще труднее вообразить обратное, то есть что у Вселенной где-то существует край, есть граница. Ведь в таком случае действительно возникает вполне естественный вопрос: а что находится дальше?

Однако обращение к «очевидности» не может служить основанием для серьезных научных выводов. Мы многого не можем себе представить, но это само по себе еще ничего не доказывает. Что же касается рассуждения Лукреция, то оно хотя внешне и логично, но на самом деле опирается на наши привычные земные представления. При этом молчаливо предполагается, что они справедливы везде и всегда. Между тем весь опыт познания природы убедительно доказывает, что так называемая «наглядность» весьма ненадежный советчик при решении научных вопросов.

Можно вспомнить хотя бы о тех возражениях, которые вызывала в свое время идея кругосветного путешествия, выдвинутая Магелланом. Ее противники как раз основывали все свои возражения на наглядности. Как можно, восклицали они, двигаясь все время по прямой в одном направлении, вернуться в ту же точку?! Возможность такого результата противоречила общепринятым житейским представлениям, противоречила обыденному здравому смыслу. Но, как известно, действительность подтвердила предположение Магеллана.

Аналогичные возражения встретила идея антиподов: если Земля шарообразна, то как могут люди жить на другой ее стороне — ведь им приходится ходить вниз головой?!

«…Здравый человеческий рассудок, — писал Фридрих Энгельс, — весьма почтенный спутник в четырех стенах своего домашнего обихода, переживает самые удивительные приключения, лишь только он отважится выйти на широкий простор исследования» [2].