Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

N

_ε

C

_F

δ

_ij

⎛

⎜

⎝

-2

_n

∑

^l=2

1

l

⎞

⎟

⎠

(

Δ

⋅p)

^n-1

Δ

.

(20.9)

Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту Z_F . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y γ_NS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения Z_nZ^-1_FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя Z_F , вычисленное в § 9, находим

Z

_NS

ⁿ

=1+

g²N_ε

16π²

C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

,

(20.10)

S

₁

(n)=

_n

∑

^j=1

1

j

,

(20.11)

откуда получаем

γ

₍₀₎

^NS

(n)=

2C

_F

⎧

⎨

⎩

4S

₁

(1)-3-

2

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

,

(20.12)

d(n)=

1

33-2n_ƒ

⎧

⎨

⎩

1

2n(n+1)

+

3

4

-S

₁

(n)

⎫

⎬

⎭

.

(20.13)

Для синглетного случая аналогичным способом можно получить ответ, записываемый в матричном виде:

D

_n

=

16

33-2n_ƒ

×

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝

33-2n_ƒ

16

d(n)

3n_ƒ

8

⋅

n²+n+2

n(n+1)(n+2)

n²+n+2

2n(n²-1)

33-2nƒ

16

+

9

4

⎧

⎨

⎩

1

n(n-1)

+

1

(n+1)(n+2)

-S

₁

(n)

⎫

⎬

⎭

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(20.14)

Выражения для величины S₁(n) можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной n . Согласно теореме Карлсона (см., например, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений n. Оно имеет вид

S

₁

(n)=n

_∞

∑

^k=1

1

k(k+n)

.

(20.15 а)

Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной n (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений n) величину S₁(n) можно представить в виде

S

₁

(n)

=

ψ(n+1)+γ

_E

,

ψ(z)

≡

d logΓ(z)

dz

.

(20.15 б)

В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции γ⁽⁰⁾(n) на область комплексных значений переменной n, начинающиеся с четных или нечетных значений n, совпадают. Поэтому никаких проблем, связанных с четностью или нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных или нечетных значениях переменной n, не возникает.

§21. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений

В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.

Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта³³⁾. Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей γ⁽¹⁾_NS(n) и γ⁽¹⁾(n) втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов:

³³Конечно, помимо использования выражения для константы связи α_s(Q²) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.

C

_n

^NS

(1,α

_s

(Q²))=C

_n

^NS

(1,0)

⎧

⎨

⎩

1+C

_n(1)

^NS

(1,0)

α(Q²)

4π

+…

⎫

⎬

⎭

.

(21.1)

Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов N_NS было выполнено в работе [125], а для синглетных - в работе [126]. Полученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде для несинглетных операторов в статье [150] и для синглетных — в статье [151]. Недавно они были проверены [84, 131], и лишь для коэффициента при аномальной размерности γ⁽¹⁾_VV(n) было найдено выражение, отличающееся от полученного ранее³⁴⁾. Пусть величины γ^(1)±_NS(n) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем

³⁴⁾ Результаты работы [131] недавно были проверены независимым образом.

γ

_(1)±

^NS

(n)

=

32

9

S

₁

(n)

⎡

⎢

⎣

67+8

2n+1

n²(n+1)²

⎤

⎥

⎦

-64S

₁

(n)S

₂

(n)

-

32

9

[S

₂

-S

_±

²

(n/2)]

⎧

⎨

⎩

2S

₁

(n)-

1

n(n+1)

⎫

⎬

⎭

-

128

9

S

^̃

^±

(n)+

32

3

S

₂

(n)

⎡

⎢

⎣

3

n(n+1)

-7

⎤

⎥

⎦

16

9

S

_±

³

⎛

⎜

⎝