Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

TJ

_μ

^p

(z)+J

_ν

^p

=-

∑

^j,n

C

_n

^1pj

(z²)g

^μν

i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

N

_μ1…μn

^j

(0)

-

∑

^j,n

C

_n

^2pj

(z²)i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

N

_{μνμ1…μn}

^j

(0)

+

∑

^j,n

C

_n

^2pj

(z²)ε

^μναβ

i

^n-2

z

_β

z

_μ1

…z

_μn

N

_αμ1…μn

^j

(0),

(19.3)

где индекс i относится к тем операторам из (19.2), которые имеют квантовые числа, совпадающие с квантовыми числами исходного произведения J⁺_pJ_p. Здесь следует отметить, что взаимодействия КХД не нарушают симметрии по ароматам кварков и, следовательно, все вычисления с матрицами λ действующими в пространстве ароматов, можно проводить так же, как в случае свободных полей. Например, для хронологического произведения двух электромагнитных токов выражение (19.3) принимает вид

iTJ

_μ

^em

(z)J

_ν

^em

(0) =

=

g

^μν

⎧

⎨

⎩

∑

n четн

C

_n

^1NS

(z²)

⎛

⎜

⎝

1

6

N

_μ1…μn

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_μ1…μn

^NS,8

(0)

⎞

⎟

⎠

+

2

9

C

_n

^1F

(z²)N

_μ1…μn

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

+

∑

n четн

⎧

⎨

⎩

C

_n

^2NS

(z²)

⎛

⎜

⎝

1

6

N

_{μνμ1…μn}

^NS,3

(0)+

1

6√3

N

_{μνμ1…μn}

^NS,8

(0)

⎞

⎟

⎠

+

2

9

C

_n

^2F

(z²)N

_{μνμ1…μn}

^F

(0)

⎫

⎬

⎭

i

ⁿ

z

_μ1

…z

_μn

+

⎧

⎨

⎩

g

^μν

∑

n четн

C

_n

^1V

(z²)

2

9

N

_μ1…μn

^V

(0)

+

∑

n четн

C

_n

^2V

(z²)

2

9

N

_{μνμ1…μn}

^V

(0)

⎫

⎬

⎭

i

^n-1

z

_μ1

…z

_μn

.

(19.4)

Здесь использованы симметризованные выражения для операторов N. Это допустимо в данном случае, так как необходимы только диагональные матричные элементы, а членами порядка m²_N/Q² пренебрегают (ср. с (18.156), (18.15в)). Выражения (19.3) и (19.4) записаны довольно схематично. При учете кварк-глюонных взаимодействий операторы, входящие в (19.3) и (19.4), подвергаются перенормировке. Помимо прочих эффектов это приводит к двум весьма важным следствиям. Во-первых поскольку операторы N_F и N_V обладают одинаковыми квантовыми числами (они являются синглетами по группе аромата), выражения для перенормированных операторов N_F и N_V представляют собой комбинации, содержащие неперенормированные операторы обоих типов. Этого не происходит для операторов N_NS, которые при проведении процедуры перенормировок оказываются выраженными через себя же. Во-вторых, после перенормировки появляется зависимость коэффициентов C и операторов N от размерного параметра, который мы временно обозначим буквой μ, чтобы не путать его с бьеркеновской переменной ν=p⋅q.

Токи J, имеющие вид

J

^μ

(x)=aV

^μ

(x)+bA

^μ

(x)

(19.5)

не требуют проведения специальной перенормировки, так как операторы V и A являются сохраняющимися или квазисохраняющимися (см. § 13). Но операторы N и вильсоновские коэффициенты разложения C требуют перенормировки, за исключением некоторых особых случаев.

Перенормировка несинглетных операторов, выражающихся при этом через самих себя, сводится к добавлению перенормировочного множителя³¹⁾:

³¹ Заметим, что, так же как в § 13, кварковые и глюонные поля, входящие в операторы N_NS и N, предполагаются перенормированными.

N

_μ1…μn

^NS,a±R

=Z

_a±

^n-2

(μ)N

_μ1…μn

^NS,a±

(19.6 а)

В действительности множитель Z не зависит от a±.

Для синглетных операторов результат проведения перенормировочной процедуры записывается в матричном виде:

^⃗

N

_μ1…μn

^R

=ℤ

_n-2

^⃗

N

^μ₁…μ_n

(19.6 б)

Здесь введены вектор ɤ

^⃗

N

=

⎛

⎜

⎝

N_F

N_V

⎞

⎟

⎠

,

(19.6 в)

и матрица

ℤ=

⎛

⎜

⎝

Z_FF Z_FV

Z_VF Z_VV

⎞

⎟

⎠

.

(19.6 г)

Аномальные размерности и матрицы аномальной размерности для операторов N определены выражениями

γ

_NS

(n,g)

=

-(Z

_n

(μ))

^-1

μ∂

∂μ

Z

_n

(μ),