Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов читать книгу онлайн
Книга испанского физика Ф. Индурайна представляет собой курс современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Она содержит практически весь основной материал, необходимый для ознакомления с важнейшими результатами, полученными в рамках пертурбативной КХД, и овладения вычислительными методами теории. Материал изложен с приведением всех промежуточных выкладок и с большим педагогическим мастерством, что позволяет использовать книгу в качестве учебного или справочного пособия. Книга предназначена для научных работников, студентов и аспирантов физических факультетов, специализирующихся в области физики элементарных частиц.
Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних чтение данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту [email protected] для удаления материала
(∂
μ
B
ν
(x) - ∂
ν
B
μ
(x))
q
a
q
a
×
(∂
μ
B
aν
(x) - ∂
ν
B
aμ
(x)).
Кроме основных, или элементарных, полей Φi, фигурирующих в теории (в случае КХД это поля q для кварков и B для глюонов), часто встречаются составные операторы (как правило, это локальные комбинации полей Φi), т.е. комбинации» содержащие произведения конечного числа полей Φi и их производных, взятых в одной и той же точке x. Например, в КХД используются операторы токов q(x)γμq'(x). Конечно, и сам лагранжиан ℒ(х) является составным локальным оператором.
Из локальных полей или из локальных операторов (элементарных или составных) можно образовать новые локальные операторы. Самый простой способ заключается в обычном перемножении операторов. Но имеются два других типа произведений, которые будут неоднократно рассматриваться в дальнейшем, — виковское и хронологическое произведения локальных операторов. Для свободных полей виковское, или нормальное, произведение определяется следующим образом. Разложим поля Φi по операторам рождения и уничтожения. Результат имеет вид
Φ
i
(x)
=
∑
C
(n)
(x)a
n
+
∑
C
(n)
(x)
a
+
,
i
i
n
n
n
где операторы a и a могут совпадать или не совпадать. Например, если поля Φ отождествить с кварковыми полями q , то их разложение имеет вид
q(x)
=
1
∑
∫
d
⃗
p
{
e
-ip⋅x
u(p,σ)a(p,σ) + e
ip⋅x
v(p,σ)
a
+
(p,σ)
}
,
(2π)
3/2
2p
0
σ
где u и v - обычные дираковские спиноры, а a+ (a+) - операторы рождения частиц (античастиц). Виковское произведение : Φ1(x1)Φ2(x2): получается перестановкой всех операторов рождения левее всех операторов уничтожения. При перестановках учитываются коммутационные (антикоммутационные) соотношения между бозонными (фермионными) операторами. В результате получается
:Φ
1
(x
1
)Φ
2
(x
2
):
≡
∑
n,n'
⎧
⎨
⎩
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n)
2
(x
2
)a
n
a
n'
+
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n)
2
(x
2
)
a
+
n
a
+
n'
+
C
(n)
1
(x
1
)C
(n')
2
(x
2
)
a
+
n
a
n'
+
(-1)
δ
C
(n)
1
(x
1
)
C
(n')
2
(x
2
)
a
+
n'
a
n
⎫
⎬
⎭
,
Здесь δ = 1 для фермионов и δ = 0 для бозонов.
Обобщение определения виковского произведения на большее число сомножителей :Φ1(x1) … Φn(xn): или на виковское произведение от других виковских произведений типа : ( :Φ1(x1)Φ2(x2): ) ( :Φ3(x3)Φ4(x4): ) : производится непосредственно. Рецепт состоит в следующем: поля разлагают по операторам рождения и уничтожения и, учитывая коммутационные соотношения, переписывают выражение так, чтобы операторы рождения стояли левее операторов уничтожения.
Нетрудно проверить, что виковское произведение локальных операторов, взятых в одной и той же точке, тоже локально3), т. е. если операторы O1,…,On локальны, то и виковское произведение этих операторов :O1(x)…On(x): локально.
3 Оператор Oα(x) называется локальным, если при преобразованиях Пуанкаре он преобразуется по формуле U(a,Λ)Oα(x)U-1(a,Λ) = ∑ Pαα⋅(Λ)Oα'(Λx+a) и коммутирует сам с собой в разных пространственных точках.
Еще одним важным свойством виковского произведения является его регулярность. Иными словами, для любых состояний a и b матричные элементы от виковского произведения ⟨а∣ :O1(x1)…On(xn): ∣b⟩ являются регулярными функциями переменных (x1),…,(xn).
Хронологическое произведение, или Т-произведение, локальных (элементарных или составных) операторов O1(x1)…On(xn) определяется следующим образом:
TO1(x1)…On(xn) ≡ T{ O1(x1)…On(xn) } = (-1)δOi1(xi1) … Oin(xin)
В правой части этого выражения операторы расположены в такой последовательности, что их временные аргументы удовлетворяют условию x0i1 ≥ x0i2 ≥ … ≥ x0in , а параметр δ равен числу перестановок индексов, соответствующих фермионным операторам, которые необходимо выполнить,чтобы из исходной последовательности 1,…,n составить последовательность i1,…,in. Иначе говоря, хронологическое произведение TO1(x1)…On(xn) можно получить, переставляя операторы так, чтобы их временные аргументы образовывали невозрастающую последовательность, учитывая при этом коммутационные (антикоммутационные) соотношения для бозонных (фермионных) операторов. Например, для двух сомножителей q1(x) и q2(y) получаем
Tq1(x)q2(y) = θ(x0 - y0)q1(x)q2(y) - θ(y0 - x0)q2(y)q1(x)
или
Tq1(x)B2(y) = θ(x0 - y0)q1(x)B2(y) + θ(y0 - x0)B2(y)q1(x)
Следует помнить, что бозонные и фермионные операторы всегда коммутируют и хронологическое произведение операторов релятивистски инвариантно.
S-матрица представляет собой оператор, переводящий векторы, отвечающие свободным состояниям системы в момент времени t=-∞ в векторы, отвечающие свободным состояниям этой системы в момент времени t=+∞. S-матрица может быть получена из лагранжиана взаимодействия при помощи формулы Мэттьюза
