Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

²⁵ Более строгое рассмотрение этого вопроса дано в статье [ 29] и а цитированных там работах.

§16. Зависимость параметров теории и вычислений от выбора перенормировочной схемы

В квантовой электродинамике существует естественная перенормировочная схема, задаваемая тем фактом, что фотон и электрон находятся на массовой поверхности. Преимущество такой схемы следует из теоремы Тирринга [245], согласно которой при нулевой энергии фотона амплитуда комптоновского рассеяния (во всех порядках по константе α) точно дается классической формулой. Таким образом, для определения фундаментальных параметров теории α и m_e можно пользоваться классическими выражениями. В квантовой хромодинамике такой выделенной схемы, основывающейся на физических соображениях, нет. Таким образом, необходимо обсудить вопрос об изменениях, возникающих при переходе от одной перенормировочной схемы к другой. Пренебрежем массами кварков и калибровочными параметрами; их введение не внесет каких-либо дополнительных проблем, отличных от обсуждаемых здесь.

Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину P. Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, использованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи

P=

∑

ⁿ

C

_n

(R)[α

_s

(R)]

ⁿ

,

(16.1)

то коэффициенты C_n и константа связи α_s будут зависеть от используемой схемы перенормировки R. Если перейти к новой перенормировочной схеме R' то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину P, вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи α_s(R') :

P=

∑

ⁿ

C

_n

(R')[α

_s

(R')]

ⁿ

,

(16.2)

Подставляя в формулу (16.2) выражение для α_s(R'), записанное в виде ряда по константе α_s(R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах. Разложение константы α_s(R') по степеням константы α_s(R) можно записать в виде

α

_s

(R')=α

_s

(R)

{1+a

₁

(R',R)α(R)+…}.

Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений α_s=g²₂/(4π) не зависит от выбора схемы. Это означает, что C_0,1(R)=C_0,1(R'). Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:

C

₂

(R)=C

₂

(R')+a

₁

(R',R)C

₁

(R')

и т.д.

Рассмотрим, например, величну R, введенную в предыдущем параграфе²⁶. Если ее вычислить в схеме минимального вычитания (в которой устраняются только полюса 2/ε, а не вся комбинация N_ε=2/ε-γ_E+log4π), то вместо формулы (15.10) получим

²⁶Подробное обсуждение этого вопроса для процессов глубоконеупругого рассеяния можно найти в статье [27]

R

₍₂₎

^ms

(s)

=

3

_nƒ

∑

^ƒ=1

Q

₂

^ƒ

⎧

⎨

⎩

1+

α_s,ms(Q²)

π

+r

_2,ms

⎧

⎪

⎩

α_s,ms(Q²)

π

⎫²

⎪

⎭ 

⎫

⎬

⎭

,

r

_2,ms

=

r

₂

(log4π-γ

_E

)

33-2n_ƒ

12

.

(16.3)

Выражение для константы связи α_s,ms также отличается от формулы (14.4в). Оно имеет вид

α

_s,ms

(Q

²

)

=

 12π 

(33-2n_ƒ)log Q²/Λ²

×

⎧

⎨

⎩

1-3

153-19n_ƒ

(33-2n_ƒ)²

⋅

loglog Q²/Λ²

½log Q²/Λ²

-

log4π-γ_E

log Q²/Λ²

⎫

⎬

⎭

.

(16.4)

Можно сохранить формулу (14.4в) для константы связи α_s, если определить новый параметр обрезания Λ_ms следующим образом:

Λ

₂

^ms

=

e

^{γ_E-log 4π}

Λ

²

.

(16.5)

Тогда выражение (16.4) запишется в виде

α

_s,ms

(Q

²

)

=

12π

(33-2n_ƒ)log Q²/Λ

₂

^ms

⎧

⎨

⎩

1-3

153 -19n_ƒ

(33-2n_ƒ)²

⋅

loglog Q²/Λ

₂

^ms

½log Q²/Λ

₂

^ms

⎫

⎬

⎭

.

(16.6)

с точностью до членов порядка O([α_s]³).

К сожалению, часто забывают об этом простом факте: параметры теории можно получить только во втором порядке теории возмущений; в низшем же порядке параметры Λ и Λ_ms взаимозаменяемы, так как возникающая при этом ошибка второго порядка малости. Кроме того, когда приводят значение, например величины Λ (то же справедливо и для эффективной массы m̂), надо указывать, в рамках какой перенормировочной схемы получено это значение. Как параметр обрезания Λ , так и эффективная масса m̂ являются ренормин-вариантными величинами, но они меняются при переходе от одной схемы к другой. В этой книге в основном используется перенормировочная схема MS вследствие ее простоты. В ней не возникает трансцендентных выражений (типа -γ_E+log4π). К тому же эта схема, вообще говоря, приводит к малым поправкам во втором порядке теории возмущений. Например, в схеме минимального вычитания для величины r_2,ms имеем

r_2,ms≈7,4 - 0,44n_ƒ

в то время как в перенормировочной схеме MS эта величина имеет значение 2,0 - 0,12n_f.

В этой схеме предпочтительное экспериментальное значение параметра обрезания равно