Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов
Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов читать книгу онлайн
Книга испанского физика Ф. Индурайна представляет собой курс современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики. Она содержит практически весь основной материал, необходимый для ознакомления с важнейшими результатами, полученными в рамках пертурбативной КХД, и овладения вычислительными методами теории. Материал изложен с приведением всех промежуточных выкладок и с большим педагогическим мастерством, что позволяет использовать книгу в качестве учебного или справочного пособия. Книга предназначена для научных работников, студентов и аспирантов физических факультетов, специализирующихся в области физики элементарных частиц.
Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних чтение данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕНО! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту [email protected] для удаления материала
19) Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие Α=∫d4xℒ(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]3/2, полей д́ухов [ω]=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора ρS=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d4x).
ν
-ρΓ
Γ
R
(λp
1
,…,λp
N-1
;g,m,a
-1
;ν) = F(λp
1
/ν,…,λp
N-1
/ν;g,m/ν,a
-1
).
Чтобы отличать масштаб изменения импульсов λ от калибровочного параметра, последний обозначим через a=λ-1. Теперь, заменяя частную производную ν∂/∂ν на производную -λ∂/∂λ, получаем уравнение Каллана-Симанзика
{
-
∂
∂logλ
+gβ
∂
∂g
+(a
-1
)δ
∂
∂a
-1
+
∑
q
m
q
(γ
m,q
-1)
∂
∂m
q
+ρ
Γ
-γ
Γ
}
×Γ
R
(λp
1
,…,λp
N-1
;g,m,ξ,ν)=0.
(12.5)
Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями
d
g
(λ)
d logλ
=
g
(λ)β(
g
(λ)) ,
d
m
(λ)
d logλ
=
m
(λ)γ
m,q
,
d
a
(λ)
-1
d logλ
=
a
-1
δ ,
(12.6 а)
и удовлетворяющие граничным условиям
g
λ=1
=g(ν) ,
m
λ=1
=m(ν) ,
a
λ=1
=a(ν) .
(12.6 б)
Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде
Γ
R
(λp
1
,…,λp
N-1
;g(ν),m(ν),ξ(ν);ν)
=λ
ρΓ
Γ
R
(p
1
,…,p
N-1
;
g
(λ),
m
(λ),
a
(λ)
-1
;ν)
× exp
{
-
∫
log λ
0
d log γ'γ
Γ
(
g
(λ'),
m
(λ'),
a
(λ')
-1
)
}
.
(12.7)
Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в λ раз функция Грина ΓR не умножается просто на величину λρΓ как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину γΓ обычно называют аномальной размерностью функции Грина ΓR. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей21). Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.
21) Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].
Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.
§ 13. Перенормировка составных операторов
Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.
Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока Jμem=∑QqVμq, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы Vμq имеют следующий вид:
V
μ
q
(x)=:
q
(x)γ
μ
q(x): ;
и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения
∂
V
μ
(x)=0 .
μ
q
(13.1 а)
В качестве примера частично сохраняющегося тока можно привести слабый аксиальный ток
A
μ
qq'
(x)=:
q
(x)γ
μ
γ
5
q'(x): .
Используя уравнения движения (3.6), легко убедиться, что аксиальный ток удовлетворяет соотношениям
∂
μ
A
μ
qq'
(x)=i(m
q
+m
q'
)J
5
qq'
(x) , J
5
qq'
(x)=:
q
(x)γ
5
q'(x): ,
(13.1 б)
из которых видно, что в пределе больших энергий, когда можно пренебречь массами кварков, он является сохраняющимся.
Вообще говоря, матричные элементы любого составного оператора представляют собой расходящиеся величины. Но если учесть контрчлены, входящие в лагранжиан КХД, то матричные элементы сохраняющихся и частично сохраняющихся токов оказываются конечными 21a). Физически это очевидно, формальное же доказательство этого утверждения будет приведено ниже.
