Бесконечный регресс и основания математики (ЛП)

Таким образом, гильбертовская программа тривиализации на метауровне коллапсировала. Но вскоре началась мощная кампания, направленная на заполнение пробелов. Генцен внес вклад в это заполнение пробелов, предложив свое остроумное доказательство непротиворечивости, за что и бились гильбертианцы, доказательство, находящееся в согласии с минимальными стандартами гёделевской утонченности и еще не переступившие границ тривиальности.* [27] Некоторые результаты Тарского обозначили путь, позволявший заполнить пробелы в проблематике полноты теории (Tarski, 1956, р. 276-277):

"Определение истины и, более широко, установление семантики позволяет нам блокировать некоторые негативные результаты, которые были получены в методологии дедуктивных наук, параллельными позитивными результатами и таким образом заполнить до некоторой степени [курсив мой ― И.Л.] пробелы, обнаруженные в дедуктивном методе и в конструкции самого дедуктивного знания".

К сожалению, некоторые логики склонны игнорировать эту осторожную квалификацию Тарского. В недавно изданном учебнике мы читаем, что гёделевский "негативный" (sic) результат был блокирован позитивным результатом Тарского (Stegmüller, 1957, S. 253). Автор прав, оставив слово "позитивный" без кавычек, в которые заключил бы его скептик, но зачем слово "негативный" заключать в кавычки?

Итак, резиновый евклидианизм вышел снова на авансцену, вышел в наше время, обнаруживая себя в качестве новой партийной линии постгильбертианцев. Забавно, какой утонченной может быть тривиальность. Самоочевидность, коль скоро она принята, оказывается, разумеется, растяжимой, и проверить высказывание на самоочевидную истину то же самое, что проверить его на истину ― показать, что оно внутренне противоречиво или ложно. Если мы отказываемся растягивать интуицию до бесконечности, нам придется признать, что метаматематика не останавливает бесконечный регресс в доказательстве, который возникает теперь в виде бесконечной иерархии все более богатых метатеорий (первая теорема Гёделя представляет собой по своей сути принцип сохранения утонченности или принцип сохранения погрешимости). Но это не обязывает нас впадать в математический скептицизм: мы только признаем погрешимость смелых спекуляций. Доказательство непротиворечивости Генценом, как и семантические результаты Тарского, действительные, а не пирровы (как называл их Вейль) (Weyl, 1949, р. 222) победы, они являются таковыми, даже если принимается не только "существенно более низкий стандарт очевидности" (ibid), но и определенно предположительный характер новых методов. Поскольку метаматематика растет, ее утонченная тривиальность становится все более утонченной и менее тривиальной. Тривиальность и достоверность суть Kinderkrankheiten* [28] знания.

Подчеркнем еще раз, что евклидианец и после любого поражения может всегда прибегнуть к своему оружию: либо обнадеживая найти выше действительные первые принципы, либо совершив некоторое логическое или эпистемологическое сальто-мортале, оглупляя верой в то, что то, что на деле оказывается погрешимой спекуляцией, есть очевидная истина. В логицистской программе любимым сальто-мортале была индукция. Гильбертовское сальто-мортале ― мольба обреченного о вере в новое снисхождение и неожиданное и поистине удивительное воцарение метаматематической резиновой интуиции, которая сначала была финитной брауэрианской, затем трансфинитной генценианской и даже семантической тарскианской. Мы читаем в одной из самых компетентных книг, написанных на эту тему, что "окончательным (sic) критерием допустимости некоторого метода в метаматематике должна быть, конечно (sic), его интуитивная убедительность" (Kleene, 1952, р. 63; Клини, 1957, с. 62). Но почему тогда мы не остановились шагом раньше, почему не заявили, что окончательным критерием определения того, приемлем ли метод в арифметике, должна, конечно, быть интуитивная убедительность, и не отбросили вообще метаматематику, как это сделал Бурбаки (Bourbaki, 1949, р. 8). Метаматематика, как и расселовская логика, происходит из критики интуиции; теперь метаматематики, как раньше логицисты, просят нас принять их интуицию как "окончательный" критерий, следовательно, отбрасывают нас к тому же субъективному психологизму, который они раньше критиковали. Но почему на Земле появились "окончательные" критерии и "высшие" авторитеты? Зачем нам основания, если мы сознаем их субъективность? Почему не принять честно математическую погрешимость и не постараться защитить достоинство погрешимого знания от циничного скептицизма, а обманываться относительно того, что мы могли бы незаметно заделать новую дыру в машине "окончательных" интуиций?

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

Вейль Г. Избранные труды. М.: Наука, 1984.

Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948.

Гюйгенс X. Трактат о свете// Пер. с англ. Н. Фредерикса, 1935.

Клини С. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

Лейбниц Г.В. Сочинения. В 4 т. М.: Мысль, 1984. Т. 3.

Рассел Б. Новейшие работы о началах математики // Новые идеи в математике. / Под ред. А.В. Васильева. 1913. № 1. С. 82-105.

Рассел Б. Проблемы философии. СПб., 1914.

Рассел Б. Человеческое познание. Его сферы и границы. М.: Изд-во иностр. лит., 1957.

Abel N.H. Letter to Hansteen // S. Lie and L. Sylow (eds.): Oeuvres Completes. 1826. Vol. 2. P. 263-5. Christiana: Grondahl, 1881.

Bourbaki N. The Foundations of Mathematics for the Working Scientist // Journal of Symbolic Logic. 1949. VoL 14. P. 1-8.

Braithwaite R.B. Scientific Explanation. Cambridge: University Press, 1953.

Fraenkel A.A. Zehn Vorlesungen Über die Grundlegung der Mengenlehre. Leipzig, Berlin: B.G. Teubner, 1927.

Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Jena. 1893. Bd. I.

Huyghens C. Treatise on Light University of Chicago Press, 1945.

Kemeny J. Undecidable Problems in Elementary Number Theory // Mathematische Annalen. 1958. Vol. 135. P. 160-169.

Kemeny J. A Philosopher Looks at Science. Princeton: Van Nostrand, 1959.

Kleene S.C. Introduction to Metamathematics. Amsterdam: North Holland, 1952.

Lakatos I. Essays in the Logic of Mathematical Discovery: Unpublished PhD dissertation. Cambridge, 1961.

Neumann J. von. Zur Hilbertischen Beweistheorie // Mathematische Zeitschrift. 1927. Bd 26. S.1-46.

Pascal B. Les Reflexions sur la Geometrie en General (1667-1658) // J. Chevalier (ed.): Oeuvres Completes, p. 575-604. Paris: La Librairie Galliard, 1954.

Popper K.R. The Logic of Scientific Discovery. London: Hutchinson, 1959.

Ramsey F.P. The Foundations of Mathematics and other Essays / Edited by R.B. Braithwaite. London: Kegan Paul, 1931.

Ramsey F.P. Mathematical Logic // The Mathematical Gazette. 1926. Ns 13. P. 185-194. Перепечатано в: Ramsey F.P. The Foundations of Mathematics.

Robinson R. Plato's Earlier Dialectic. Second edition. Oxford: Clarendon Press, 1953.

Russell B.A.W. Review of G. Heyman's: Die Gesetze und Elemente des Wissenschaftlichen Denkens // Mind, 1895. JSTs 4. S. 245-9.

Russell B.A.W. The Logic of Geometry // 1896. Mind. Ns 5. P.1-23.

Russell B.A.W. Recent Work in the Philosophy of Mathematics // The International Monthly. 1901. Vol. 3. Перепечатано под названием "Mathematics and the Metaphysician" b: Mysticism and Logic. London: George Alien and Unwin, 1917.

Russell B.A.W. Principles of Mathematics. London: George Alien and Unwin, 1903.