Бесконечный регресс и основания математики (ЛП)

Главная проблема философии Рассела ― спасти Знание от скептиков. "Скептицизм, являясь логически непогрешимым, психологически неприемлем; во всякой философии, которая намерена принять его, присутствует элемент легкомысленного лукавства" (Russell, 1948, p. 9).* [17]В юности он пытался избежать скептицизма с помощью далеко идущей евклидианской программы. Его "философское развитие"* [18] было постоянным и постепенным отступлением от евклидианизма, храбрым сражением за каждый дюйм оставляемой территории и попытками спасти столько достоверности, сколько можно.

Интересно вспомнить оптимизм его ранних планов. Рассел полагал, что прежде чем "распространять сферу достоверности на другие науки", он обязан добиться "совершенной математики, не оставляющей места сомнению" (Russell, 1959, p. 36). Для этого придется "опровергнуть математический скептицизм" (ibid, р. 209) и таким образом сохранить евклидианский плацдарм для организации дальнейшего общего наступления. Таким образом, отправным пунктом философской карьеры Рассела было упрочение математики в качестве евклидианского плацдарма.

Он нашел математические доказательства поразительно ненадежными. "Подавляющая часть аргументации, которую мне было велено принять, была очевидно ошибочной" (ibid, р. 209). И он не был удовлетворен достоверностью аксиом ― геометрических и арифметических. Он отдавал себе полный отчет в скептической критике интуиции: раз и навсегда лейтмотивом его публикаций была борьба со "смешением психологически субъективного и логически априорного" (Russell, 1895, р. 245). Каким образом можно установить, что вводы истины сверху в теорию неоспоримы? Разбирая эту проблему, он проанализировал одну за другой аксиомы геометрии и арифметики и обнаружил, что они основываются на различных видах интуиции. В своей первой опубликованной статье (1896) Рассел проанализировал с этой точки зрения аксиомы евклидовой геометрии и нашел, что некоторые из аксиом с достоверностью истинны и в особенности a priori истинны, ибо "их отрицание влечет логические и философские несообразности" (Russell, 1896, р. 3). Он, например, квалифицировал как априорную истину гомогенность пространства, ибо "отсутствие гомогенности и пассивности абсурдно; философы, насколько я знаю, никогда не испытывали сомнений в этих двух свойствах пустого пространства: действительно, они по всей видимости вытекают из максимы, что ничего не может воздействовать на ничто… Мы должны, следовательно, на чисто философских основаниях принять это как аксиому, например, как аксиому конгруэнтности" (ibid, р. 4). С другой стороны, он квалифицировал аксиому о трехмерности пространства как эмпирическую, правда, он утверждал, что её достоверность почти настолько же велика, как если бы она была априорной истиной (ibid, р. 14). Эта аксиома, однако, "логически не необходима" [курсив мой. ― И.Л.] и только "предположительно её очевидность может быть извлечена из интуиции" (ibid, р. 23).

Итак, Рассел пытался установить иерархию априорных истин, "математических верований", геометрических или арифметических. Он "прочитывал книги, стараясь найти такую, которая представляла бы более твердую основу для них" (Russell, 1959, р. 209). Таким образом, он наткнулся на Фреге.* [19] Он сразу же признал решение Фреге ― извлечь всю математику из тривиальных логических принципов. Арифметическая интуиция была выброшена в мусорную корзину для отслуживших детривиализованных тривиальностей, разделив судьбу механической и геометрической интуиции, в то время как воцарилась логическая интуиция, причем не просто как "интуиция", но как непогрешимое интеллектуальное проникновение, как супертривиальная суперинтуиция. Арифметическая тривиализация математики была развенчана и замещена её логической тривиализацией.

Чтобы по достоинству оценить этот шаг, нам надо рассмотреть то особое место, которое занимает логическая интуиция. Евклидианцы развенчивали один за одним интуитивные источники ввода истины в теорию сверху, находимые (принимаемые) своими предшественниками. Открытие иррациональных чисел заставило древних греков отказаться от пифагорейской арифметической интуиции в пользу евклидианской геометрической интуиции: арифметика должна была быть переведена в кристально ясную геометрию. Чтобы завершить этот перевод, они разработали свою сложную "теорию пропорций". "Проясняя понятие иррационального числа", XIX в. переключился опять на арифметическую интуицию как на доминантную. Позднее за эту роль конкурировали канторовская теоретико-множественная интуиция, расселовская логическая интуиция, гильбертовская "глобальная" интуиция и интуиция "конструктивистов" брауэровского толка.* [20] В ходе этой баталии логическая интуиция играла особую роль: ибо всякий, кто выигрывал битву за аксиомы, вынужден был полагаться на логическую интуицию как на переносчика истины с верхушки теории к остальным ее частям. Даже эмпирицисты, которые громили в науке интуицию верхнего уровня (в то время как защищали интуицию снизу, фактуальную интуицию), должны были полагаться на тривиально надежную логику, позволяющую транслировать их опровержение вверх. Если критицизм мыслится определяющим, он должен наносить смертоносный удар, обеспеченный неопровержимой логикой. Особый статус логической интуиции объясняет, почему даже архипротивники интуиции не перечисляли логическую интуицию под рубрикой "интуиции" вообще ― ибо они нуждались в логической интуиции, чтобы критиковать другие виды интуиции. Но если догматик любой программы ― евклидианец любой деноминации, индуктивист, эмпирицист ― нуждается в тривиальной, поистине непогрешимой логической интуиции, то показать, что вся математика не нуждается в какой-либо другой интуиции, кроме логической, будет действительно огромной победой: как для аксиом, так и для трансляции истинности останется только один источник достоверности.

Логическая интуиция, однако, должна была первой сделаться автономной, должна была очиститься от внешних интуиций. В классической евклидианской теории каждый релевантный шаг должен был оправдываться специальной аксиомой. Любое положение формы "A влечет B" или, скорее, "A с очевидностью влечет B" должно рассматриваться в качестве независимо истинного. Картезианская логика содержит неопределенную бесконечность тематически зависимых аксиом. Рассел предусмотрел полноправную логику, состоящую из нескольких специальных тривиальных "тематически нейтральных" аксиом. Он вначале не осознавал то, что если логика должна стать сверхтривиальной евклидианской дедуктивной системой, она должна содержать, с одной стороны, сверхтривиальные аксиомы, а с другой ― сверхсверхтривиальную логику логики, содержащую в себе специальные правила передачи истины. "Вся чистая математика ― арифметика, анализ и геометрия ― строится путем комбинаций примитивных идей логики, и её предложения выводятся из общих аксиом логики, т.е. из силлогизма и других правил вывода" (Russell, 1901, р. 76; Рассел, 1913, с. 84). Эти аксиомы теперь будут действительно тривиально истинны, сияя несомненностью в естественном свете чистого логического разума, "краеугольными камнями, скрепленными в вечный фундамент, доступный человеческому разуму, но несмещаемый им" (Frege, 1893, р. XVI). Термины, оказывающиеся в них, будут действительно совершенно ясными логическими терминами. Словарь будет состоять лишь из двух тривиальных терминов: отношение и класс. "Если вы хотите стать арифметиком, вам надо знать, что эти идеи значат". Но нет ничего более легкого. "Придется допустить, что то, что математик должен знать, начинается с немногого" (Russell, 1901, р. 78-79; Рассел, 1913, с. 87). В этот период ― за месяц или за два до открытия его парадокса ― он думал, что безусловная евклидизация математики обеспечена и скептицизм навсегда повержен: "Во всей философии математики, которая бывала по меньшей мере настолько же полна сомнений, насколько всякая другая область философии, порядок и достоверность заменили путаницу и колебание, которые раньше царствовали" (ibid, р. 79-80; там же, с. 88).