Бесконечный регресс и основания математики (ЛП)

И, следовательно (ibid, р. 71):

"…на этого рода скептицизм, отрицающий стремление к идеалу, так как дорога трудна и цель недостижима с определенностью, математика в пределах ее собственной области дает окончательный ответ. Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но только мнение и частное суждение; что каждый из нас в своем взгляде на мир ограничен своими собственными особенностями, своими собственными вкусами и склонностями; что вне нас отсутствует царство истины, в которое мы терпением и дисциплиной можем во всяком случае получить доступ, но существует только истина для меня, для вас, для всякого отдельного лица. Эта привычка ума ведет к тому, что игнорируется одна из ведущих целей человеческих усилий, и из нашего морального видения исчезает высшее достоинство искреннего бесстрашного познания того, что есть. Математика стоит вечным препятствием на пути такого скептицизма, ибо ее сооружение из истин непоколебимо и неприступно для всех орудий сомневающегося цинизма".

Мы все знаем, как краткий евклидианский "медовый месяц" уступил место "интеллектуальной скорби" (Russell, 1959, р. 73), как намеченная логическая тривиализация математики выродилась в утонченную систему, включающую такие "аксиомы", как аксиомы редуцируемости, бесконечности, выбора, а также разветвленную теорию типов* [21] ― один из наиболее сложных лабиринтов, сфабрикованных человеческим умом. "Класс" и "отношение членства" (membership relation) оказались невразумительными, неопределенными, словом, любыми, только не "совершенно общеизвестными". Возникла совсем неевклидианская потребность доказательства внутренней непротиворечивости, дабы удостовериться, что "тривиально истинные аксиомы" не противоречат друг другу. Все это и то, что последовало за этим, поразило бы любого студента XVII в., как dèjà vu* [22]: доказательство уступило дорогу объяснению, совершенно известные понятия ― теоретическим понятиям, тривиальность ― утонченным рассуждениям, непогрешимость ― погрешимости, евклидианская теория ― эмпирицистской теории. И мы сталкиваемся с тем же отказом принять драматическое изменение: те же самые арьергардные вылазки, надежды и ersatz-решения.

Расселовская первая реакция на свои непреднамеренные, нежелаемые контртривиальные Principia шла по той же схеме, что и классические попытки XVII в. спасти догматизм. Я упомянул две из них: 1) держаться первоначальной евклидианской программы и либо пробиться сквозь строй гипотез к первым принципам, либо напрячь интуицию и обратить парадоксальные спекуляции вчерашнего дня в сегодняшнюю очевидность или, если это не поможет, 2) попытаться путем оправдания индукции направить истину снизу наполнять всю систему.

1) Подобно тому, как Ньютон надеялся объяснить закон всемирного тяготения принципом картезианской толчковой механики, Рассел надеялся на тривиализацию аксиомы редуцируемости. "Хотя кажется весьма невероятным, ― писал он, ― что эта аксиома оказалась бы ложной, ни в коей мере не невероятно, что будет обнаружено, что она дедуцируема из других более фундаментальных и более очевидных аксиом" (Russell, Whitehead, 1925, р. 59-60). Позже он отказался от этой надежды: "С чисто логической точки зрения, я не вижу каких-либо причин верить, что аксиома редуцируемости логически необходима… Включение этой аксиомы в систему логики есть, следовательно, дефект, даже если аксиома эмпирически истинна" (Russell, 1919, р. 193).

Рассел описал эту стандартную схему рассуждений в отношении аксиомы о параллельных (Russell, 1903, § 353):

"С кантианской точки зрения было необходимо поддерживать, что все аксиомы самоочевидны ― точка зрения, которую честным людям трудно было распространить на аксиому о параллельных. Отсюда возникал поиск более правдоподобных (plausible) аксиом, которые могли бы быть объявлены истинами а priori. Но хотя много таких аксиом было предложено, все они по здравому разумению могли бы быть поставлены под сомнение, и этот поиск вел только к скептицизму."

Согласился ли бы он с тем, что его поиск "правдоподобных" логических аксиом, "которые могли бы быть объявлены истинами а priori", вел только к скептицизму?

В случае с теорией типов Рассел снова впал в "резиновый евклидианизм". Он был убежден, что существовало тривиальное решение "парадокса Рассела". Это оставалось, конечно, весьма смутной надеждой, поскольку здесь в отличие от изощренного парадокса Бурали – Форти было показано, что самые тривиальные общедоступные утверждения противоречивы, и, чтобы улучшить ситуацию, надо было допустить, что отрицание некоторой аксиомы здравого смысла истинно. Решение Цермело ― сознательно принять отрицание принципа абстракции* [23], выглядевшего тривиально истинным, ― было в этом направлении. Однако евклидиански мыслящий Рассел отбросил такое решение. Он никогда не примирялся с аксиоматической теорией множеств. Рассел полагал, что, только приложив усилия, очищающие наш здравый смысл от ошибок, мы, когда естественный свет разума снизойдет на нас, увидим (снова схема XVII в.) что, конечно же, что-то очевидно все время неправильно в рассуждении. В то время как Рассел грешил на лемму в доказательстве и заявлял, что она не тривиально истинная, а тривиально ложная, он, возможно, потому что ему как евклидианцу стало слишком трудно обманывать себя, открыл, что можно заменить этот de facto детривиализующий метод на другой: виновная лемма не тривиально ложна, а тривиально бессмысленна ― только это не приходило нам в голову, пока мы не посмотрели на нее с этой точки зрения. Так что теперь мы сначала должны посмотреть, является ли высказывание осмысленным или оно бессмысленный монстр. Если оно бессмысленно, то оно не может быть истинным или ложным, но если мы не проверяем его на осмысленность, а сразу проверяем на истинность, то мы можем поддаться заблуждению, принимая его за тривиально истинное.

Этот "метод исключения монстров" ― стандартный евклидианский защитный механизм, правда, обычно бесплодный. Тем не менее он стал главным принципом логического позитивизма, явившегося уродливым обобщением расселовской теории типов. Главная опасность этого метода состоит в том, что изощренные жизненно важные допущения прячутся в определения, т.е. остаются за фасадом концептуальной структуры. В метаматематической терминологии теория типов ― часть правил образования (касающихся того, что составляет правильно построенную формулу), а не аксиом. Мы можем усмотреть значимость этого шага, обращаясь к защите логицизма, предпринятой Кемени. В его полупопулярной книжке говорится (Kemeny, 1959, р. 21):

"Математика проявляет себя не более чем высокоразвитой логикой. В этом процессе появляются два новых логических принципа ― аксиомы бесконечности и выбора, чья в чем-то спорная природа не должна нас здесь смущать. Давайте довольствоваться тем, что при признании этих аксиом двумя легитимными логическими принципами, как признает их большинство логиков, вся математика становится лишь логикой повышенного типа".

Кемени не упоминает теорию типов, которая, конечно же, портит картину непогрешимой тривиальности логики, рисуемую им для читателей, но он может оправдать это упущение тем, что теория типов принадлежит правилам образования, а не аксиомам. Рассел, разумеется, знал, что тривиальность теории типов жизненно важна для его евклидианской программы. Вот почему он настаивал на "принципе порочного круга", на бессмысленности самореферентных предложений как на базовой идее теории типов. Он полагал, что этот принцип следовало бы признать как очевидный и, таким образом, его исключение противоречивости наивной логики вошло бы в евклидианскую доктрину о том, что «решение должно в рефлексии полагаться на то, что может быть названо "логическим здравым смыслом", т.е. должно видеться в конечном итоге просто в том, чего следует всегда ожидать» (Russell, 1959, р. 79-80). Этот поиск тривиального решения ― к тому времени очевидно безнадежный ― заманил его в методологическую ловушку разоблачения монстров, в особенно жалкую ошибку антисамореферентного крестового похода и в "достаточно небрежную" (Ramsey, 1931, р. 24) дедукцию теории типов из этого принципа. Теория типов, предстающая как отрывок из самоочевидного "внутренне правдоподобного (credible)" (Russell, Whitehead, 1925, р. 37), дает прекрасный пример резинового евклидианизма. Расселовский поиск евклидианской тривиальности также объясняет его страх перед спекулятивной "логикой изящного проворства" Куайна (Russell, 1959, р. 80). резиновый евклидианец стремится забраковать тривиальности других как спекуляции, настаивая в то же время, что его собственные спекуляции суть тривиальности.