По следам бесконечности

Процесс деления тела бесконечен, утверждал он, и потому нет смысла говорить о его конечном результате. Следовательно, не существует наименьших неделимых частиц. Число частиц, из которых состоит данная вещь, всегда можно увеличить.

«И в малом ведь нет наименьшего, по всегда есть меньшее. Ибо бытие не может разрешиться в небытие, но и в отношении к большому есть большее. И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая вещь и велика и мала».

Следовательно, бесконечное существует в обе стороны. Это была первая математическая формулировка понятия бесконечно большого и бесконечно малого как возможности увеличения сверх любой заданной величины и возможности неограниченного деления.

Но если пространственные элементы и промежутки времени можно делить без конца, то пространство и время непрерывны.

Наряду с концепцией Анаксагора существовала и другая, противоположная концепция, одним из родоначальников которой был Демокрит (около 460 г. — 370 г. до н. э.), — учение о «неделимых», мельчайших частях линий, поверхностей и тел. Демокрит признавал бесконечность Вселенной и числа атомов во Вселенной. Но считал, что тело нельзя делить бесконечно, а лишь до неделимых атомов. С помощью этой теории Демокриту удалось решить несколько очень трудных математических задач — например, найти выражение для объема пирамиды.

Но поскольку в распоряжении древних греков не было никаких экспериментальных фактов, по которым можно было бы судить о действительных свойствах реального пространства и реального времени, споры между сторонниками Анаксагора и Демокрита были в то время довольно беспредметными.

Величайшая заслуга Зенона состоит в том, что он впервые показал: и та и другая концепция ведут к глубоким противоречиям и парадоксам.

Парадокс — утверждение, которое непосредственно вытекает из привычных представлений или существующих научных теорий, но тем не менее вступает в противоречие о ними самими.

Именно такие парадоксальные следствия учения о бесконечной делимости пространства и обнаружил Зенон…Быстроногий Ахиллес хочет догнать медленно ползущую черепаху. Но пока он пробежит разделяющее их расстояние, черепаха тоже проползет немного вперед. И Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние. Но пока он сделает ото, черепаха вновь уйдет вперед — и так до бесконечности. Значит, несмотря на то, что Ахиллес передвигается намного быстрее черепахи, он все равно никогда не может ее догнать. Или, другими словами, будет догонять ее бесконечно длительное время.

Этим парадоксом Зенон показал, что предположение о бесконечной делимости пространства приводит к противоречию с реальным фактом движения.

Вместе с этой апорией Зенон сформулировал и еще одну — под названием «Дихотомия». Если черепаха после сигнала к старту не сдвинется с места, Ахиллес все равно ее не догонит. Ведь прежде чем преодолеть все расстояние, он должен преодолеть его четверть. И так далее… И поскольку процесс деления пополам никогда не может окончиться, Ахиллес вообще не сдвинется с места.

Отсюда следовало, что в природе нет и не может быть никакого движения.

Парадоксы Зенона привели древнегреческих мыслителей в настоящее смятение. Однако все попытки каким-либо способом их опровергнуть заканчивались неудачей.

До нас дошел рассказ о том, как философ Диоген, когда его познакомили с апориями Зенона, ни слова не говоря, поднялся с места и начал расхаживать взад и вперед.

Много веков спустя остроумию Диогена отдал должное Александр Сергеевич Пушкин:

Казалось бы, апории Зенона тем самым были опровергнуты с помощью самого могущественного аргумента — опыта.

Однако проблема была, гораздо сложнее, чем это может показаться на первый взгляд.

Не спасло положения и атомистическое учение Демокрита, не допускающее бесконечного делания. Правда, существование «неделимых» устраняло парадокс Ахиллесу и черепахи. Как только в процессе деления мы дошли бы до «неделимых», все стало бы на свои места — Ахиллес догнал бы черепаху.

Однако в двух других апориях Зенон показал, что и предположение о существовании неделимых элементов пространства и времени также исключает возможность движения. Одна из этих апорий называется «Стрела».

…Стрела выпущена из лука. Если стрела летит — это значит, что она последовательно проходит точку за точкой своего пути. Что значит: проходит через точку? Значит, находится в ней какое-то время, то есть пребывает в состоянии покоя. Следовательно, движение стрелы есть совокупность состояний покоя. Следовательно, движение есть покой.

Таким образом, получалось, что обе противоположные концепции — и бесконечной делимости (то есть непрерывности) пространства и времени и существования неделимых элементов (то есть дискретности пространства и времени) — в равной степени ведут в тупик.

А вскоре обнаружилось к тому же, что метод «неделимых» Демокрита сталкивается и с другими непреодолимыми трудностями. Если атом имеет конечную величину, то разве можно утверждать, что конечная величина, какая бы она ни была, не может быть вновь разделена?

Возник, например, и такой вопрос: как разделить круг пополам? Если существуют «неделимые», то центр круга будет принадлежать только одной половине.

Окончательную катастрофу учение Демокрита потерпело тогда, когда были обнаружены несоизмеримые отрезки. Если есть наименьшие «неделимые», то, очевидно, любой отрезок должен состоять из целого их числа. Но оказалось, что между стороной квадрата и его диагональю нет никакой общей меры. То есть не существует такого отрезка, который укладывался бы на диагонали квадрата и его стороне целое число раз.

Результатом всех этих потрясений было то, что и бесконечность и неделимые оказались изгнанными из математики. К слишком сложным противоречиям, сложным даже для изощренных в логических спорах умов греческих мыслителей, вело применение этих понятий.

Бесконечность стали всячески обходить, прибегая для этого ко всевозможным логическим ухищрениям.

Когда Эвклиду, например, потребовалось сформулировать свою знаменитую теорему о множестве простых чисел, он вышел из затруднения следующим образом; «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел».

И все же математики оказались в затруднительном положении — они тем самым лишились возможности вычислять площади и объемы. Надо было найти новый способ решения этой задачи без помощи бесконечности.

Такой способ — метод черпков — был разработан Евдоксом и Архимедом. Впоследствии, в XVII веке, он получил название метода исчерпывания.

В основе метода черпков лежала аксиома Евдокса— Архимеда: если из какой-либо величины отнять ее половину (или больше), а затем с каждым остатком поступать так же, то через конечное число шагов можно получить величину меньше любой заданной.

Однако и метод черпков, увы, обладал весьма существенным недостатком. Его можно было применять только в тех случаях, когда уже было известно, что именно требуется доказать. А для этого надо было воспользоваться «неделимыми» Демокрита…

Апории Зенона обнаружили и еще одну трудность. В ту пору в древнегреческой математике было распространено представление о том, что конечная величина есть совокупность бесконечного множества непротяженных точек. В частности, такой концепции, видимо, придерживались ранние пифагорейцы. Частями беспредельного для них были не материальные атомы, а геометрические точки.

Но если тело представлено бесконечной совокупностью неделимых точек, не имеющих измерений, то их сумма равна нулю. А это значит, что тело, имеющее измерение, лишено измерения.

Если же неделимые точки имеют измерение, то тело конечной величины оказывается бесконечно большим.

От Зенона до вакуума

Много столетий спустя известный исследователь истории математики Д. Стройк написал, что парадоксы Зенона вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь.