Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Фиг. 19,4. Кольцо в магнитном поле.

а — в нормальном, состоянии; б — в сверхпроводящем состоянии; в — после того, как внешнее поле убрали.

В нормальном состоянии (фиг. 19.4,а) в теле коль­ца имеется магнитное поле. Когда кольцо становится сверхпроводящим, поле (как мы уже знаем) выталкивается из вещества кольца. Но тогда, как показано на фиг. 19.4,б, останется неко­торый поток поля сквозь отверстие кольца. Если теперь убрать внешнее поле, то те линии поля, которые шли через отверстие, будут «заморожены» (фиг. 19.4,в). Поток Ф через центр сойти на нет не может, потому что дФ/дt должно быть все время равно контурному интегралу от Е вдоль кольца, а Е внутри сверхпроводника равно нулю. И вот, когда мы убираем внешнее поле, то по кольцу начинает течь сверхпроводящий ток, цель которого — сохранить поток через кольцо неизменным. (Это старая идея о вихревых токах, только с нулевым сопротивле­нием.) Но все эти токи будут течь только у самой поверхности (на глубине не более 1/l), что следует из такого же анализа, как и проделанный для сплошного куска. Эти токи в состоянии сде­лать так, чтобы магнитное поле не попадало внутрь кольца, но зато все время держалось вокруг него.

Но здесь имеется существенное различие, и наши уравнения предсказывают поразительный эффект. Рассуждение о том, что фаза q в сплошном куске должна быть постоянной, к кольцу неприменимо; в этом вам помогут убедиться следующие рас­суждения.

Далеко в глубине тела кольца плотность тока J равна нулю; значит, (19.18) означает, что

Теперь посмотрим, что получится, если мы возьмем контурный интеграл от А по кривой Г, которая проходит по самому центру поперечного сечения кольца, нигде не подходя близко к по­верхности (фиг. 19.5).

Фиг. 19.5. Кривая Г внутри сверхпроводникового кольца.

Из (19.26)

Вы знаете, что контурный интеграл от А по любой петле равен потоку В через

петлю

Стало быть, уравнение (19.27) превращается в

Криволинейный интеграл от одной точки до другой (ска­жем, от точки 1 до точки 2) от градиента равен разности значений функции в этих двух точках:

Если начать сближать точки 1 и 2, чтобы петля стала замкнутой, то на первый взгляд могло бы показаться, что q₁ станет равно q₂, так что интеграл в (19.28) обра­тится в нуль. Так оно и было бы для замкнутых петель в односвязном куске сверхпроводника, но для кольцеобразного куска это не обязательно. Единствен­ное физическое требование, которое мы вправе предъявить, это чтобы в каждой точке волновал функция могла принимать толь­ко одно значение. Что бы ни делала фаза q, когда вы движетесь по кольцу, но когда вы возвращаетесь к начальной точке, фаза q обязана обеспечить вам прежнее значение волновой функции

Захваченный поток всегда обязан быть кратным числу 2ph/q! Если бы кольцо было классическим объектом с идеальной (т. е. бесконечной) проводимостью, то можно было бы подумать, что в кольце обязан остаться весь проходивший через него поток, какой бы величины он ни был, т. е. можно заморозить любое количество потока. Но квантовомеханическая теория сверхпроводимости утверждает, что поток может быть либо ну­лем, либо 2ph/q, либо 4ph/q, либо 6ph/q и т. д., но только не про­межуточным числом! Он обязан быть кратным фундаментальной квантовомеханической константе.

Лондон предсказывал, что поток, захватываемый сверхпроводящим кольцом, окажется квантованным и допустимая величина потока будет дана уравнением (19.29), где q=q_e— заряду электрона. Согласно Лондону, фундаментальная единица потока должна быть равна 2ph/q_е, т. е. около 4·10^-7гс·см². Чтобы представить себе эту величину, вообразите тонкий цилиндрик толщиной в одну десятую долю миллиметра; магнит­ное поле внутри него, если он содержит такую величину потока, составит около одного процента магнитного поля Земли. С по­мощью чувствительных магнитных измерений такой поток можно зарегистрировать.

В 1961 г. Дивер и Фейрбэнк из Станфордского универси­тета предприняли поиски такого квантованного потока и нашли его; примерно в то же время это проделали Долл и Набауэр в Германии.

В опыте Дивера и Фейрбэнка сверхпроводящий цилиндрик был изготовлен электроосаждением тонкого слоя олова на ку­сочке медной проволоки диаметром 1,3·10^-3 см (длиной 1 см). Ниже 3,8° К олово становится сверхпроводящим, а медь остает­ся нормальным металлом. Проволока была помещена в неболь­шое регулируемое магнитное поле и температура снижалась до тех пор, пока олово не стало сверхпроводником. Затем убрали внешний источник поля. Вы понимаете, что по закону Ленца это вызвало появление тока, стремившегося погасить эффект убывания потока внутри цилиндра. Цилиндрик приобрел маг­нитный момент, пропорциональный потоку внутри него. Этот магнитный момент измеряли, для чего водили проволочкой вверх и вниз (как иглой в швейной машинке, но со скоростью 100 раз в секунду) внутри пары маленьких катушечек, поме­щенных у концов оловянного цилиндрика. Мерой магнитного момента было наводимое в катушках напряжение.

Дивер и Фейрбэнк, проделав свой опыт, обнаружили, что поток действительно квантуется, но фундаментальная единица равна половине той, которую предсказал Лондон. Тот же резуль­тат получили Долл и Набауэр. Сперва это выглядело очень таинственно, но теперь стало ясно, отчего так вышло. Соглас­но теории сверхпроводимости Бардина, Купера и Шриффера, то q, которое стоит в (19.29), это заряд пары электронов, т. е. равно 2q_e. Фундаментальная единица потока равна

т. е. равна половине того, что было предсказано Лондоном. Теперь все сходится, и измерения свидетельствуют о существо­вании предсказанного чисто квантовомеханического, но круп­номасштабного явления.

§ 8. Динамика сверхпроводимости

Эффект Мейсснера и квантование потока подтверждают наши общие представления. Для полноты стоит еще продемонстри­ровать, как с этой точки зрения выглядели бы полные уравне­ния сверхпроводящей жидкости,— получается довольно инте­ресно. До сих пор я подставлял выражение для yтолько в урав­нения плотности заряда и тока. Но если я их подставлю в полное уравнение Шредингера, то получу уравнения для r и q. Интересно поглядеть, что из этого выйдет, потому что перед нами сейчас «жидкость» электронных пар с плотностью заряда r и с таинственной q; мы можем посмотреть, как выглядят уравнения такой «жидкости»! Итак, подставим волновую функ­цию (19.17) в уравнение Шредингера (19.3) и вспомним, что r и q это вещественнее функции от х, у и z. Если мы отделим вещественную часть от мнимой, то уравнений станет два. Чтобы запись была короче, я, следуя уравнению (19.19), напишу