Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Поскольку в рассмотренной нами части таблицы уже про­явились все основные черты периодической системы, мы обры­ваем наше изложение на элементе № 36 (их остается еще штук 70, а то и больше!).

Мы хотим отметить еще один момент: мы в состоянии понять в какой-то степени не только валентности, но можем кое-что сказать и о направлениях химических связей. Возьмем такой атом, как кислород. В нем четыре 2р-электрона. Первые три попадают в состояния «x», «у» и «z», а четвертый вынужден заполнить одно из них, оставив два других — скажем, «x» и «у» — вакантными. Посмотрите теперь, что происходит в Н₂O. Каждый из двух водородов желает разделить свой электрон с кислородом, помогая кислороду заполнить оболочку. Эти элек­троны будут стремиться попасть на вакансии в состояниях «x» и «y». Поэтому два водорода в молекуле воды обязаны располо­житься под прямым углом друг к другу, если смотреть из центра атома кислорода. На самом деле угол равен 105°. Можно даже понять, почему угол больше 90°. Обобществив свои электроны с кислородом, водороды остаются в конце концов с избытком положительного заряда. Электрическое отталкивание «растя­гивает» волновые функции и разводит угол до 105°. Так же об­стоит дело и у H₂S. Но атом серы крупнее, атомы водорода ока­зываются дальше друг от друга, и угол расходится только до 93°. А селен еще крупнее, поэтому в H₂Se угол уже совсем бли­зок к 90°.

Аналогичные рассуждения позволяют разобраться в гео­метрии аммиака H₃N. В азоте есть место еще для трех 2р-электронов, по одному на каждое состояние типа «x», «у» и «z». Три водорода будут вынуждены подсоединиться под прямыми углами друг к другу. Углы снова окажутся чуть больше 90°, опять-таки из-за электрического отталкивания, но по крайней мере теперь ясно, отчего молекула H₃N не плоская. Углы в фосфине Н₃Р уже ближе к 90°, а в H₃As еще ближе. Мы не зря предположили, что NH₃ не плоский, когда говорили о нем как о системе с двумя состояниями. Именно из-за этой объемности аммиака и возможен аммиачный мазер. Вы видите, что сама форма молекулы аммиака тоже следует из квантовой механики. Уравнение Шредингера явилось одним из величайших триумфов физики. Снабдив нас ключом к механизму, лежащему в основе строения атома, оно объяснило атомные спектры и всю химию, благодаря чему стала понятна физическая природа материи.

* В действительности мнение об инертности благородных газов ока­залось, как и многое другое, сильным преувеличением. Криптон, напри­мер, весьма охотно соединяется с фтором, образуя кристаллы KrF₆. Сейчас химия инертных газов превращается в большую и увлекательную науку.— Прим. ред.

* Это нетрудно вывести из (16.35). Но можно это сделать, исходя из основных принципов; надо только воспользоваться идеями, изложенными в гл. 16, § 4. Состояние |l, l> может быть составлено из 2l частиц со спином ¹/₂, у которых спин направлен вверх; а в состоянии |l, 0> l спинов было бы направлено вверх, а l — вниз. При повороте амплитуда того, что спин останется тем же, равна cosq/2, а амплитуда того, что он перевернется, равна sin q/2. А нас интересует амплитуда того, что l спинов не перевер­нутся, а другие l перевернутся. Такая амплитуда равна (cosq/2sinq/2)^l, а это то же самое, что sin^lq.

* Поскольку это и другие особые наименования являются частью общепринятого словаря атомной физики, вам попросту придется выучить их. Мы вам поможем их запомнить, поместив в этой главе небольшой «словарик» подобных терминов.

* Как обычно,

Глава 18

ОПЕРАТОРЫ

§ 1. Операции и операторы

§ 2. Средние энергии

§ 3. Средняя энергия атома

§ 4. Оператор места

§ 5. Оператор импульса

§ 6. Момент коли­чества движения

§ 7. Изменение средних со временем

§ 1. Операции и операторы

Для того чтобы управиться со всем, что мы до сих пор делали в квантовой механике, достаточно было бы обычной алгебры, но мы все же время от времени демонстрировали особые способы записи квантовомеханических величин и уравнений. Мы хотели бы рассказать теперь немного больше о некоторых интересных и по­лезных способах описания квантовомеханических величин.

К предмету квантовой механики можно подойти разными способами, и во многих книгах прибегают совсем к иному подходу, чем у нас. Когда вы начнете читать другие книжки, то может оказаться, что вам не удастся сразу связать то, что в них говорится, с тем, что де­лали мы. Хотя в этой главе мы и получим кое-какие новые результаты, она не похожа на дру­гие главы. У нее совсем иная цель: рассказать о других способах выражения тех же самых фи­зических представлений. Зная это, вы легче поймете, о чем говорится в других книжках. Когда люди впервые начали разрабатывать классическую механику, они неизменно распи­сывали свои уравнения через х-, у- и z-компоненты. Затем кто-то сделал шаг вперед в указал, что все можно упростить, введя век­торные обозначения. Правда, очень часто, чтобы представить себе задачу конкретнее, вы разбиваете векторы обратно на их компонен­ты. Но обычно все же куда легче делать расчеты и разбираться в существе дела, работая с век­торами. В квантовой механике нам тоже удалось упростить запись многих вещей, воспользовав­шись идеей «вектора состояния». Вектор состоя­ния |y> ничего общего, конечно, не имеет с геометрическими векторами в трехмерном пространстве; это просто отвлеченный символ, который обозначает физиче­ское состояние, отмечаемое своим «значком» или «назва­нием» y. Представление это весьма и весьма полезно, потому что на языке этих символов законы квантовой механики выглядят как алгебраические уравнения. К примеру, тот наш фундаментальный закон, что всякое состояние можно соста­вить из линейной комбинации базисных состояний, записы­вается так:

где С_i — совокупность обычных (комплексных) чисел, ампли­туд C_i=<i|y>, а |1>, |2>, |3> и т. д. обозначают базисные состояния в некотором базисе, или представлении.

Если вы берете какое-то физическое состояние и что-то про­делываете над ним (поворачиваете или ждете в течение времени At или еще что-то), то вы получаете уже другое состояние. Мы говорим: «производя над состоянием операцию, получаем новое состояние». Эту же идею можно выразить уравнением

Операция над состоянием создает новое состояние. Оператор А обозначает некоторую определенную операцию. Когда эта операция совершается над каким-то состоянием, скажем над |y>, то она создает какое-то другое состояние |j>.

Что означает уравнение (18.2)? Мы определяем его смысл так. Умножив уравнение на <i| и разложив |y> по (18.1), вы получите

(|j> — это состояния из той же совокупности, что и |i>. Теперь это просто алгебраическое уравнение. Число <i|j> показывает, какое количество базисного состояния |i> вы обнаружите в |j>, и оно определяется через линейную суперпо­зицию амплитуд <j|y> того, что вы обнаружите |y> в том или ином базисном состоянии. Числа <i|A^|j> — это попросту коэф­фициенты, которые говорят, сколько (какая доля) состояния <j|y> входит в сумму. Оператор А численно описывается на­бором чисел, или «матрицей»