Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Но раз уж зашла об этом речь, я хочу остановиться на том, в состоянии ли мы себе представить красоту, которую мы не можем видеть. Это интересный вопрос. Когда мы глядим на радугу, она нам кажется прекрасной. Каждый, увидав ее, воск­ликнет: «О радуга!». (Смотрите, как научно я подхожу к во­просу. Я остерегаюсь именовать что-то восхитительным, пока нет экспериментального способа определить это.) Ну, а как мы описывали бы радугу, если бы были слепыми? А ведь мы слепы, когда измеряем коэффициент отражения инфракрасных лучей от хлористого натрия или когда говорим о частоте волн, при­шедших от некоторой невидимой глазу галактики. Тогда мы чертим график, рисуем диаграмму. К примеру, для радуги по­добным графиком была бы зависимость интенсивности излуче­ния от длины волны, измеренная спектрофотометром под все­возможными углами к горизонту. Вообще говоря, подобные измерения должны были бы приводить к довольно пологим кривым. И вот в один прекрасный день кто-то обнаружил бы, что при какой-то определенной погоде, под некоторыми углами к горизонту спектр интенсивности как функция длины волны начал себя вести странно — у него появился пик. Если бы угол наклона прибора чуть-чуть изменился, максимум пика перешел бы от одной длины волны к другой. И вот через некоторое время в физическом журнале для слепых появилась бы техническая статья под названием «Интенсивность излучения как функция угла при некоторых метеоусловиях». В этой статье был бы график типа, показанного на фиг. 20.5. «Автор заметил,— го­ворилось бы, быть может, в статье,— что под большими углами основная часть радиации приходится на длинные волны, а под меньшими максимум излучения смещается к коротким волнам». (Ну, а мы бы сказали, что под углом 40° свет преиму­щественно зеленый, а под углом 42° — красный.)

Но находите ли вы график, приведенный на фиг. 20.5, вос­хитительным? В нем ведь содержится существенно больше раз­личных деталей, чем мы в состоянии постичь, когда видим ра­дугу: наши глаза не могут схватить доподлинную форму спектра. А вот глазам радуга все же кажется восхитительной. Хватает ли у вас воображения, чтобы в спектральных кривых увидеть всю ту красоту, которую мы видим, смотря на радугу? У меня — нет.

Фиг. 20.5. Зависимость интен­сивности электромагнитных волн от длины волны под тремя углами (отсчитываемыми от направления, противоположного направлению на Солнце).

Доступно наблюдению лишь в опре­деленных метеорологических усло­виях.

Но представим себе, что у меня имеется график зависи­мости коэффициента отражения кристаллов хлористого натрия от длины волны в инфракрасном участке спектра и от угла. Я могу вообразить себе, как это представилось бы моим глазам, обладай они способностью видеть в инфракрасном свете. Должно быть, это был бы какой-то яркий, насыщенный «зеленый цвет», на который накладывались бы отражения от поверхностей «ме­таллически-красных» тонов. Это выглядело бы поистине вели­колепно, но я не знаю, способен ли я, взглянув на график коэф­фициента отражения NaCl, снятый на каком-то приборе, ска­зать, что он столь же прелестен.

Но, с другой стороны, хоть мы и не можем видеть красоту тех или иных частных измерений, мы можем утверждать, что постигаем своеобразную красоту уравнений, описывающих всеобщие физические законы. Например, в волновом уравне­нии (20.9) очень красива та правильность, с какой в нем распо­ложены х, у, z и t. И эта приятная симметрия появления х, у, z, t намекает на ту величественную красоту, которая таится в четырех равнозначных координатах, в возможности того, что у пространства есть четырехмерная симметрия, в возможности проанализировать ее и развить специальную теорию относи­тельности. Так что существует еще интеллектуальная красота, ассоциируемая с уравнениями.

§ 4. Сферические волны

Мы видели, что существуют решения волнового уравнения, отвечающие плоским волнам, и что любая электромагнитная волна может быть описана как суперпозиция многих плоских волн. В определенных случаях, однако, удобнее описывать волновое поле в другой математической форме. Я хотел бы сей­час разобрать теорию сферических волн — волн, которые соот­ветствуют сферическим поверхностям, расходящимся из неко­торого центра. Когда вы бросаете камень в пруд, то по водной глади побежит рябь в виде круговых волн — это двумерные волны. Сферические волны похожи на них, только распростра­няются они во всех трех измерениях.

Прежде чем начать описание сферических волн, немного зай­мемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния r точки от начала координат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее ш(r), где под rподразумевается

т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функ­ции ш (r) удовлетворяют волновому уравнению, нам понадо­бится выражение для лапласиана ш. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ш по х, по у и по z. Через ш'(r) мы обозначим первую производную i|) по r, а через ш"(r) — вторую. Сначала найдем производные по х. Первая производная равна

Вторая производная по х равна

Частные производные r по x можно получить из

так что вторая производная ш no x принимает вид

(20.28)

Точно так же и

(20.29)

(20.30)

Лапласиан равен сумме этих трех производных. Вспоминая,

что x²+y²+z²=r², получаем

(20.31)

Часто бывает удобнее записывать уравнение в следующей

форме:

(20.32)

Проделав дифференцирование, указанное в (20.32), вы убеди­тесь, что правая часть здесь та же, что и в (20.31).

Если мы хотим рассматривать сферически симметричные поля, которые могут распространяться как сферические волны, то ве­личины, описывающие поля, должны быть функцией как r, так и t. Предположим, что нам нужно знать, какие функции ш(r, t) являются решениями трехмерного волнового уравне­ния

(20.33)

Поскольку ш(г, t) зависит от пространственных координат только через г, то в качестве лапласиана можно использовать выражение (20.32). Но для точности, поскольку ш зависит также и от t, нужно дифференцирование по r записывать в виде частной производной. Волновое уравнение обращается в

Его и предстоит нам решать. Оно выглядит сложнее, чем в случае плоских волн. Но заметьте, что если умножить это урав­нение на r, то получится

(20.34)