Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Покажем, что f(x-ct) действительно есть решение волнового уравнения. Поскольку f зависит лишь от одной переменной — переменной (x-ct), то мы будем через f' обозначать производ­ную fпо этой переменной, а через f"— вторую производную.

Фиг. 20.4. Функция f(x-ct) представляет неизменный «контур», движущийся в направлении возрастания х со скоростью с.

Дифференцируя (20.21) по х, получаем

потому что производная от (x-ct) no x равна единице. Вторая производная ш no x равна

(20.22)

А производные ш no t дают

(20.23)

Мы убеждаемся, что ш действительно удовлетворяет одномер­ному волновому уравнению.

Вы недоумеваете: «Откуда же вы взяли, что решением вол­нового уравнения является f(x-ct)? Мне эта проверка задним числом совсем не нравится. Нет ли прямого пути отыскать ре­шение?» Хорошо, вот вам прямой путь: знать решение. Можно, конечно, «испечь» по всей науке прямые математические аргументы, тем более, что мы знаем, каким должно быть реше­ние, но с таким простым, как у нас, уравнением игра не стоит свеч. Со временем вы сами дойдете до того, что, как только; увидите уравнение (20.20), тут же будете представлять себе f(x-ct)=шв качестве решения. (Подобно тому, как сейчас при виде интеграла от x²dx у вас сразу всплывает ответ x³/3.)

На самом деле вы должны представлять себе немножко больше. Решением является не только любая функция от (x-ct), но и функция от (х+сt). Из-за того, что в волновом урав­нении с встречается только в виде с², изменение знака с ничего не меняет. И действительно, самое общее решение одномерного волнового уравнения — это сумма двух произвольных функций, одной от аргумента (x-ct), а другой от (x+ct):

(20.24)

Первое слагаемое дает волну, движущуюся по направлению к положительным х, второе — произвольную волну, бегущую к отрицательным х. Общее решение получается наложением двух таких волн, существующих одновременно.

● ● ●

Следующий забавный вопрос решите сами. Возьмем функ­цию ш в виде

ш=coskxcoskct.

Эта функция не имеет вида f(x-ct) или g(x+ct). Но прямой подстановкой в (20.20) легко убедиться, что она удовлетворяет волновому уравнению. Но как же мы тогда смеем говорить, что общее решение имеет вид (20.24)?

● ● ●

Применяя эти выводы о решении волнового уравнения к y-компоненте электрического поля Е_у, мы заключаем, что Е может меняться по х произвольным образом. Всякое поле, которое существует в самом деле, можно всегда рассматривать как сумму двух картин. Одна волна плывет через пространство в каком-то направлении со скоростью с, причем связанное с нею магнитное поле перпендикулярно к электрическому; другая волна бежит в противоположном направлении с той же скоростью. Такие волны отвечают хорошо нам известным элек­тромагнитным волнам — свету, радиоволнам, инфракрасному излучению, ультрафиолету, рентгеновским лучам и т. д. Мы уже изучали очень подробно излучение света. Так как все, чему мы тогда научились, применимо к любым электромагнит­ным волнам, то теперь нет нужды рассматривать подробно поведение этих волн.

Пожалуй, стоит лишь сделать несколько замечаний о поля­ризации электромагнитных волн. Раньше мы решили рассмот­реть частный случай электрического поля с одной только y-компонентой. Имеется, конечно, и другое решение для волн, бегущих в направлении +х или -х, т. е. решение, при котором электрическое поле обладает одной лишь z-компонентой. Так как уравнения Максвелла линейны, общее решение для одно­мерных волн, распространяющихся в направлении х, есть сумма волн Е_yи волн Е_z. Общее

решение суммируется следующими формулами:

(20.25)

У подобных электромагнитных волн направление вектора Е не неизменно: оно как-то произвольно смещается по спирали в плоскости yz. Но в каждой точке магнитное поле всегда пер­пендикулярно к электрическому и к направлению распростра­нения.

Если присутствуют только волны, бегущие в одном направ­лении (скажем, в положительном направлении х), то имеется простое правило, говорящее об относительной ориентации элек­трического и магнитного полей. Правило состоит в том, что век­торное произведение ЕXВ (которое, как известно, является вектором, поперечным и к Е, и к В) указывает направление, куда бежит волна. Если Е совмещать с В правым по­воротом, то вектор поворота показывает направление вектора скорости волны. (Позже мы увидим, что вектор ЕXВ имеет особый физический смысл: это вектор, описывающий течение энергии в электромагнитном поле.)

§ 2. Трехмерные волны

А теперь обратимся к трехмерным волнам. Мы уже знаем, что вектор Е удовлетворяет волновому уравнению. К тому же выводу легко прийти, отправляясь прямо от уравнений Мак­свелла. Предположим, что мы исходим из уравнения

и берем ротор от обеих частей:

(20.26)

Вы помните, что ротор от ротора любого вектора может быть записан в виде суммы двух членов, один из которых содержит дивергенцию, а другой — лапласиан:

Но в пустом пространстве дивергенция Е равна нулю, так что остается только член с лапласианом. Далее, из четвертого урав­нения Максвелла в пустом пространстве [см. (20.12)] производ­ная по времени от C²(СXB) равна второй производной Е по t:

Тогда (20.26) обращается в

Это и есть трехмерное волновое уравнение. Расписанное во всей красе, оно выглядит так:

Как же нам найти общее решение этого уравнения? Ответ таков: все решения трехмерного волнового уравнения могут быть представлены в виде суперпозиции уже найденных нами одномерных решений. Мы получили уравнение для волн, бегущих в направлении х, предположив, что поле не зависит от у и z. Конечно, имеются и другие решения, в которых поля не зависят от x и z,— это волны, идущие в направлении у. Затем существуют решения, не зависящие от х и y; они представляют волны, движущиеся в направлении z. Или в общем случае, поскольку мы записали наши уравнения в векторной форме, трехмерное волновое уравнение может иметь решения, которые являются плоскими волнами, бегущими, вообще говоря, в лю­бом направлении. Кроме того, раз уравнения линейны, то одновременно может распространяться сколько угодно плос­ких волн, бегущих в каких угодно направлениях. Таким об­разом, самое общее решение трехмерного волнового уравнения является суперпозицией всех видов плоских волн, бегущих во всех возможных направлениях.

Попытайтесь представить себе, как выглядят сейчас элект­рические и магнитные поля в нашей аудитории. Прежде всего здесь имеется постоянное магнитное поле; оно возникло от токов внутри нашей Земли, от постоянного земного магнетизма. За­тем здесь имеются какие-то нерегулярные, почти статические электрические поля. Они скорей всего созданы электрическими зарядами, появляющимися из-за того, что кто-то ерзает на своем стуле или трется рукавами о стол (словом, в результате тре­ния). Кроме того, здесь есть еще и другие магнитные поля, вы­званные переменными токами в электропроводке,— поля, ко­торые меняются с частотой в 50 гц в такт с работой генератора на городской электростанции. Но еще больший интерес пред­ставляют электрические и магнитные поля, меняющиеся бы­стрее. К примеру, там, где свет падает из окна, освещая стены и пол, имеются небольшие колебания электрического и маг­нитного полей, перемещающиеся за секунду на 300 000 км. По комнате еще распространяются инфракрасные волны, иду­щие от ваших горячих голов к холодной доске с формулами. Да! Мы еще позабыли об ультрафиолетовом свете, о рентгеновских лучах и о радиоволнах, которые проносятся по комнате.