Фейнмановские лекции по физике. 8. Квантовая механика I

В_хА_х+В_уА_у+В_гА_г,

а это и есть скалярное произведение В·А.

Сравнение (6.1) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния c и j соответствуют двум векторам А и В. Базис­ные состояния i отвечают специальным векторам е_i, к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация трех «базисных векто­ров» е_i. Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е. три его компонен­ты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантовомеханическое состояние может быть полностью описано ампли­тудами <i|j> перехода в базисные состояния, и если эти коэф­фициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из-за этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием», часто именуют «вектором состояния».

Раз базисные векторы е_i перпендикулярны друг другу, то существует соотношение

Это соответствует соотношению (3.25) между базисными со­стояниями i

Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состоя­ния i все «ортогональны друг другу».

Между (6.1) и скалярным произведением есть одно мини­мальное различие. У нас

а в векторной алгебре

А·В = В·А.

В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произве­дении порядок неважен.

Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:

оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и

Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это про­сто число, а (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравне­ний идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем <c| по обе стороны (6.1) и напишем такое урав­нение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):

Скобку <c|j> представляют себе состоящей из двух полови­нок. Вторую половинку |j> называют кет, а первую <c| на­зывают брэ (поставленные рядом они образуют брэ-кетєbгаcket, скоб-каєскобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы <c| и |j> также называют векторами состоя­ний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой проме­жуточные шаги в расчетах.

До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа

F=та всегда можно написать

C·F=C·(ma).

Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!

Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых c. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать c и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравне­ние снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы пони­мали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <c| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1),— ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то <c|, которое вам нужно.

Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на j? Раз (6.8) справедливо при любом j, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от j, так что остается только

Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния c и j с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.

§ 2. Разложение векторов состояний

Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассмат­ривать следующим образом. Любой вектор состояния |j> может быть представлен в виде линейной комбинации совокуп­ности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффи­циенты <i|j> — это просто обычные (комплексные) числа, на­пишем

<i|j>=С_i. Тогда (6.8) совпадает с

Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для |c>, но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с D_i. Тогда будем иметь

где D_i — это просто амплитуды <i|c>.

Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстра­гировались бы от j. Тогда мы бы имели

Вспоминая, что <c|i>=<i|c>*, можно записать это в виде

А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <c|j>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):

Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем

Вспомните, однако, что <j|i>=d_ij, так что в сумме останутся только члены с j=i. Выйдет

где, как вы помните, d*_i=<i|c>*=<c|i>, а C_i=<i|j>. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением

Единственная разница — что D_iнужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы со­стояний <c| и |j> по базисным векторам <i| или |i), то ампли­туда перехода из j в c дается своего рода скалярным произве­дением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.

Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как про­странственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы |i> квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокуп­ность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.