Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

Мы, конечно, могли бы подождать говорить об этом новом вкладе в энергию до следующей главы, но уже сейчас можно оценить его, если применить соображения принципа относи­тельности.

Фиг. 15.3. Вычисление энергии маленькой петли в магнитном поле.

Приближаем петлю к неподвижной катушке и знаем, что электрическая энергия петли в точности равна и противо­положна по знаку произведенной механической работе. Иначе говоря,

Теперь предположим, что мы смотрим на происходящее с другой точки зрения: будем считать, что петля покоится, а катушка приближается к ней. Тогда катушка движется в поле, создан­ном петлей. Те же рассуждения приведут к выражению

Механическая энергия в обоих случаях одна и та же — она определяется только силой, действующей между двумя конту­рами.

Сложение двух уравнений дает

Полная энергия всей системы равна, конечно, сумме двух элект­рических энергий и взятой один раз механической энергии. В итоге выходит

Полная энергия всей системы — это на самом деле U_мех со знаком минус. Если нам нужна, скажем, полная энергия магнитного диполя, то следует писать

И только тогда, когда мы потребуем, чтобы все токи оставались постоянными, можно использовать лишь одну из частей энергии U_мех (всегда равную истинной анергии со знаком минус) для вычисления механических сил. В более общих задачах надо соблюдать осторожность, чтобы не забыть ни одной из энергий. Сходное положение наблюдалось и в электростатике. Мы показали там, что энергия конденсатора равна Q²/2C. Когда мы применяем принцип виртуальной работы, чтобы найти силу, действующую между обкладками конденсатора, то изменение энергии равно Q²/2, умноженному на изменение в 1/С, т. е.

(15.14)

А теперь предположим, что нам надо было бы подсчитать работу, затрачиваемую на сближение двух проводников, но при другом условии — что напряжение между ними остается постоянным. Тогда правильную величину силы мы могли бы получить из принципа виртуальной работы, если бы поступили немного искусственным образом. Раз Q = CV, то полная энер­гия равна ¹/₂ CV². Но если бы мы ввели условную энергию, равную —¹/₂CV², то принцип виртуальной работы можно было бы применить для получения сил, полагая изменение этой условной энергии равным механической работе (это при условии, что напряжение V

считается постоянным). Тогда

(15.15)

а это то же самое, что написано в уравнении (15.14). Мы полу­чаем правильный ответ, хотя пренебрегаем работой, которую электрическая система тратит на постоянное поддержание напряжения. И здесь опять электрическая энергия ровно вдвое больше механической и имеет обратный знак.

Итак, если мы ведем расчет искусственно, пренебрегая тем фактом, что источник потенциала должен тратить работу на то, чтобы напряжение оставалось неизменным, то все равно мы приходим к правильному результату. Это в точности соответ­ствует положению дел в магнитостатике.

§ 3. Энергия постоянных токов

Зная, что U_полн = -U_мех, используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных полях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой петельки. Обозначая U_полнпросто через U, напишем

U = m·В.(15.16)

Хотя эту энергию мы подсчитали только для плоской прямо­угольной петли, все это верно и для плоской петельки произ­вольной формы.

Энергию контура произвольной формы можно найти, пред­ставив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Ска­жем, имеется провод в форме петли Г (фиг. 15.4). Натянем на эту петлю поверхность S, а на ней наметим множество петелек, каждую из которых можно считать плоской. Если заставить ток I циркулировать по каждой петельке, то в итоге выйдет то же самое, как если бы ток шел только по петле Г, ибо токи на всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Система не­больших токов физически не будет отличима от исходного контура, и энергия должна быть той же, т. е. должна быть равна сумме энергий всех петелек.

Если площадь каждой петельки Dа, то ее энергия равна IDаB_n, где B_n — компонента В, нормальная к Dа. Полная энергия равна U = SIB_nDа.

Фиг. 15.4. Энергию большой петли в магнитном поле можно считать суммой энергий маленьких петелек.

В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается в интеграл, и

(15.17)

где n — единичная нормаль к da,

Если мы положим В = СXA, то поверхностный интеграл можно будет связать с контурным (по теореме Стокса):

(15.18)

где ds — линейный элемент вдоль Г. Итак, мы получили энер­гию контура произвольной формы:

(15.19)

В этом выражении А обозначает, конечно, векторный потен­циал, возникающий из-за токов (отличных от тока / в про­воде), которые создают поле В близ провода.

Далее, любое распределение постоянных токов можно считать состоящим из нитей, идущих вдоль тех линий, по кото­рым течет ток. Для любой пары таких контуров энергия дается выражением (15.19), где интеграл взят вокруг одного из кон­туров, а векторный потенциал А создан другим контуром. Пол­ная энергия получается сложением всех таких пар. Если вместо того, чтобы следить за парами, мы полностью просуммируем по всем нитям, то каждую энергию мы засчитаем дважды (та­кой же эффект мы наблюдали в электростатике), и полную энергию можно будет представить в виде

(15.20)

Это соответствует полученному для электростатической энергии выражению

(15.21)

Значит, мы можем считать А, если угодно, своего рода потен­циальной энергией токов в магнитостатике. К сожалению, это представление не очень полезно, потому что оно годится только для статических полей. В действительности, если поля со временем меняются, ни выражение (15.20), ни выражение (15.21) не дают правильной величины энергии.

§ 4. B или А?

В этом параграфе нам хотелось бы обсудить такой вопрос: что такое векторный потенциал — просто полезное для расче­тов приспособление (так в электродинамике полезен скалярный потенциал) или же он как поле вполне «реален»? Или же «реаль­но» лишь магнитное поле, так как только оно ответственно за силу, действующую на движущуюся частицу?