Фейнмановские лекции по физике. 6. Электродинамика

где В — поле в центре петли. Вся вложенная механическая энергия оказывается равной

Это согласуется с выражением для энергии (15.4), выбранным нами прежде.

Конечно, тот же вывод получился бы, если бы мы до инте­грирования сложили все силы, действующие на петлю. Если бы мы обозначили через В₁поле у стороны 1 а через В₂— поле у стороны 2, то вся сила, действующая в направлении х, оказа­лась бы равной

Если петля «узкая», т. е. если В₂и В₁не очень различаются между собой, то можно было бы написать

Так что сила была бы равна

(15.10)

Вся работа, произведенная внешними силами над петлей, рав­нялась бы

а это опять -mВ. Но теперь нам становится понятно, почему получается, что сила, действующая на небольшую токовую петлю, пропорциональна производной магнитного поля, как это следовало ожидать из

Другой наш результат состоит в следующем. Хоть и не исклю­чено, что не все виды энергии вошли в формулу U_мех= m·B (ведь это просто некоторая имитация энергии), ею все же можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, чтобы узнать, какие силы действуют на петли с постоянным током.

§ 2. Механическая и электрическая энергии

Теперь мы хотим пояснить, почему энергия U_мех, о которой говорилось в предыдущем параграфе, не настоящая энергия, связанная с постоянными токами, почему у нее нет прямой связи с полной энергией всей Вселенной. Правда, мы подчерк­нули, что ею можно пользоваться как энергией, когда вычис­ляешь силы из принципа виртуальной работы, при условии, что ток в петле (и все прочие токи) не меняется. Посмотрим теперь, почему же все так выходит.

Представим, что петля на фиг. 15.2 движется в направлении +х, а ось z примем за направление В. Электроны проводимости на стороне 2 будут испытывать действие силы, толкающей их вдоль провода, в направлении у. Но в результате их движения по проводу течет электрический ток и имеется составляющая скорости v_yв том же направлении, в котором действует сила. Поэтому над каждым электроном каждую секунду будет произво­диться работа F_yv_y , где v_y — компонента скорости электрона, направленная вдоль провода. Эту работу, совершаемую над электронами, мы назовем электрической. Оказывается, что когда петля движется в однородном поле, то полная электриче­ская работа равна нулю, потому что на одной части петли работа положительная, а на другой — равная ей отрица­тельная. Но при движении контура в неоднородном поле это не так — тогда остается какой-то чистый избыток одной работы над другой. Вообще-то эта работа стремится изменить поток электронов, но если он поддерживается неизменным, то энергия поглощается или высвобождается в батарейке или в другом источнике, сохраняющем ток постоянным. Вот именно эта энергия и не учитывалась, когда мы вычисляли U_мех в (15.9), потому что в наши расчеты входили только механические силы, действующие на провод.

Вы можете подумать: но сила, действующая на электроны, зависит от того, насколько быстро движется провод; быть мо­жет, если бы провод двигался достаточно медленно, этой элект­рической энергией можно было бы вообще пренебречь. Дейст­вительно, скорость, с какой высвобождается электрическая энер­гия, пропорциональна скорости провода, но все же полная выделенная энергия пропорциональна к тому же еще и времени, в течение которого проявлялась эта скорость. В итоге полная выделенная электрическая энергия пропорциональна произве­дению скорости на время, а это как раз и есть пройденное расстояние. Каждому пройденному в поле расстоянию отвечает заданное, и притом одно и то же, количество электрической работы.

Возьмем кусок провода единичной длины, по которому течет ток I. Провод движется перпендикулярно самому себе и маг­нитному полю В со скоростью v;_провод. Благодаря наличию тока сами электроны обладают скоростью дрейфа v_дрейфвдоль провода. Компонента магнитной силы, действующей на каждый электрон в направлении дрейфа, равна q_e v_провод В. Значит, скорость, с какой производится электрическая работа, равна Fv_дрейф = (q_ev_проводВ)v_дрейф. Если на единице длины провода имеется N проводящих электронов, то вся величина электрической работы, производимой в секунду, такова:

Но Nq_еv_дрейф равно току I в проводе, так что

И поскольку ток поддерживается неизменным, то силы, действующие на электроны проводимости, не ускоряют их; электрическая энергия переходит не к электронам, а к тому источнику, который сохраняет силу тока постоянной.

Но заметьте, что сила, действующая на провод, равна IB; значит, IBv_провод — это механическая работа, выполняемая над проводом в единицу времени, dU_мех/dt = IBv_провод. Отсюда мы заключаем, что механическая работа перемещения провода в точности равна электрической работе, производимой над источником тока, так что энергия петли остается постоянной!

Это не случайность. Это следствие закона, с которым мы уже знакомы. Полная сила, действующая на каждый из заря­дов в проводе, равна

Скорость, с которой производится работа, равна

(15.12)

Если электрического поля нет, то остается только второе слага­емое, а оно всегда равно нулю. Позже мы увидим, что изменение магнитных полей создает электрические поля, так что наши рас­суждения применимы лишь к проводам в постоянных магнит­ных полях.

Но тогда почему же принцип виртуальной работы дает правильный ответ? Потому, что пока мы не учитывали полную энергию Вселенной. Мы не включали в рассмотрение энергию тех токов, которые создают магнитное поле, с самого начала присутствующее в наших рассуждениях.

Но представим себе полную систему, наподобие изображен­ной на фиг. 15.3,а, где петля с током I вдвигается в магнитное поле B₁ созданное током I₂ в катушке. ТокI₁, текущий по петле, тоже будет создавать какое-то магнитное поле В₂ близ катушки. Если петля движется, то поле В₂ изменяется. В следующей главе мы увидим, что изменяющееся магнитное поле создает поле Е, и это поле действительно начнет действовать на заряды в катушке. Эту энергию мы обязаны включить в наш сводный баланс энергий.