Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Это уравнение говорит, что, каково бы ни было х, вторая про­изводная а(х) по х пропорциональна а(х) с коэффициентом пропорциональности V-Е. Вторая производная от а (х) это скорость изменения наклона а (х). Если потенциал V больше энергии Е частицы, то скорость изменения наклона а (х) будет иметь тот же знак, что и а (х). Это значит, что кривая а(х) по­вернута выпуклостью к оси х, т. е. более или менее следует ходу положительной или отрицательной экспоненты е^±x. Это озна­чает, что на участке слева от х₁(см. фиг. 14.3), где V больше предполагаемой энергии Е, функция а (х) будет напоминать одну из кривых на фиг. 14.4, а.

Фиг. 14.4. Возможные формы волновой функции а(х) при V>E и при V<E.

Если же потенциальная функция V меньше энергии Е, то знак второй производной а (х) по х противоположен знаку самой а(х)и кривая a(х)будет всегда вогнута к оси х, подобно одной из линий на фиг. 14.4, б. Решение на этом участке при­обретет форму кусочков синусоид.

Теперь поглядим, можем ли мы графически построить реше­ние для функции а(х), отвечающей частице с энергией Е_а при потенциале V, показанном на фиг. 14.5. Раз нас интересует такое положение, когда частица заключена внутри потенциальной ямы, то мы будем искать решения, при которых амплитуда волны принимает после удаления х за пределы потенциальной ямы очень малые значения. Мы очень легко можем представить себе кривую наподобие изображенной на фиг. 14.5, стремящуюся к нулю при больших отрицательных х и плавно поднимающуюся при приближении к х₁. Поскольку V в точке х₁равно Е_а, то кривизна функции в этой точке равна нулю. Между х₁и х₂ величина V-Е_авсегда отрицательна, так что функция а(х) все время вогнута к оси, а кривизна тем больше, чем больше разность между Е_аи V. Если продолжить кривую в область между x₁и x₂, ей придется идти примерно так, как на фиг. 14.5.

Фиг. 14.5. Волновая функция для энергии Е_а, стремящаяся к нулю при удалении х в отрицательную сторону.

Теперь протянем эту кривую правее х₂. Там она искрив­ляется прочь от оси и движется к большим положительным зна­чениям (фиг. 14.6).

Фиг. 14.6. Волновая функция а(х) (см. фиг. 14.5), продолженная за x₂.

Для выбранной нами энергии Е_арешение a(х)с ростом х растет все сильнее и сильнее. Действительно, ведь и кривизна решения а(х)тоже возрастает (если потенциал остается почти постоянным). Амплитуда круто вырастает до гигантских масштабов. Что это означает? Просто что частица не «связана» потенциальной ямой. Обнаружить ее вне ямы беско­нечно более вероятно, чем внутри. Для изготовленного нами решения гораздо более вероятно встретить электрон в x=+Ґ, чем где-либо еще. Найти решение для связанной частицы нам не удалось.

Что ж, попробуем взять другую энергию, скажем, чуточку повыше чем Е_а, например Е_b(фиг. 14.7).

фиг. 14.7. Волновая функция а(х) для энер­гии e_b, большей чем Е_а.

Если слева условия останутся теми же, то мы придем к решению, показанному на нижней части фиг. 14.7. На первых порах оно выглядит получ­ше, нов конце концов оказывается таким же плохим, как и решение для Е_а, только теперь при возрастании x ве­личина а(х) стано­вится все более и бо­лее отрицательной.

Может быть, в этом разгадка! Раз небольшое изменение энергии от Е_ак Е_bприводит к тому, что кривая перебрасывается с одной стороны оси на другую, то, может быть, существует энергия, лежащая между Е_аи Е_b, при которой кривая для боль­ших х будет стремиться к нулю. Так оно и есть, и мы на фиг. 14.8 изобразили, как может выглядеть решение.

Фиг. 14.8. Волновая функция для анергии Е_c между Е_а и Е_b.

Вам нужно понимать, что решение, показанное на рисунке, это весьма частное решение. Если бы мы даже чуть-чуть подняли или снизили энергию, то функция перешла бы в другие кривые, похожие на одну из штриховых кривых фиг. 14.8, и опять для связанной частицы не получилось бы надлежа­щих условий. Мы пришли к выводу, что если частица должна находиться в потен­циальной яме, то это мо­жет с ней случиться толь­ко при вполне определен­ной энергии.

Значит ли это, что у частицы, находящейся в связанном состоянии в по­тенциальной яме, может быть только одна энергия? Отнюдь. Могут быть и другие, но не слишком близко к Е_с. Обратите внимание, что волновая функция на фиг. 14.8 четы­ре раза пересекает ось на участке х₁х₂. Если бы мы выбрали энергию значи­тельно ниже Е_с, то могло бы получиться решение, которое бы пересекло ось только трижды, только дважды, только единожды или ни разу. Возможные

решения намечены на фиг. 14.9.

Фиг. 14.9. Функция а(х) для пяти связанных состояний с наинизшими энергиями.

(Могут быть и решения, отве­чающие более высоким энергиям.) Вывод состоит в том, что если частица загнана в потенциальную яму, то ее энергия прини­мает только определенные специальные значения, образующие дискретный энергетический спектр. Вы понимаете теперь, как способно дифференциальное уравнение описать этот основной факт квантовой физики.

Следует заметить только одно. Если энергия Е выше верха потенциальной ямы, то дискретных решений уже не будет, и разрешены все мыслимые энергии. Такие решения отвечают рассеянию свободных частиц на потенциальной яме. Пример таких решений мы видели, когда рассматривали влияние атомов примесей в кристалле.

* Помните, еще раньше мы условились, что

* Был использован тот факт, что

* О распределениях вероятностей шла речь в гл. 6, § 4 (вып. 1).

* Представьте себе, что по мере сближения точек х_n амплитуда А прыжков из х_n1 в х_n возрастает.

Глава 15

СИММЕТРИЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

§ 1. Симметрия

§ 2. Симметрия и ее сохранение