Фейнмановские лекции по физике. 9. Квантовая механика II

Два последних слагаемых в правой части представляют такой процесс, когда электрон, находившийся возле атома (n+1) или возле атома (n-1), окажется возле атома (n).

Мы нашли, что (14.7) имеет решения, отвечающие состоя­ниям определенной энергии. Мы записывали их в виде

У состояний с низкой энергией длины волн велики (k мало) и энергия связана с k формулой

или, если выбрать нуль энергии так, чтобы было (Е₀-2А)=0, то энергия дается формулой (14.1).

Посмотрим, что бы произошло, если бы мы позволили рас­стоянию b между атомами решетки стремиться к нулю, сохра­няя волновое число постоянным. Если бы больше ничего не случилось, то последнее слагаемое в (14.9) обратилось бы просто в нуль, и никакой физики бы не осталось. Но предположим, что А и b вместе изменяются так, что при стремлении b к нулю произведение Ab²поддерживается постоянным: с помощью (14.2) мы запишем Аb²в виде постоянной h²/2m_эфф. При этом (14.9) не изменится, но что произойдет с дифференциальным уравнением (14.7)?

Перепишем сперва (14.7) так:

При нашем выборе Е₀первое слагаемое выпадет. Далее, пред­ставим себе непрерывную функцию С(х), которая плавно про­ходит через значения С(х_n)в точках х_n. Когда расстояние b стремится к нулю, точки х_nсближаются все теснее и теснее и [если С(х)меняется достаточно плавно] величина в скобках попросту пропорциональна второй производной С(х). Можно написать (в чем легко убедиться, разложив в ряд Тэйлора каждый член) равенство

Тогда в пределе, когда b стремится к нулю, а b²A поддерживает­ся равным h2/2m_эфф, уравнение (14.7) переходит в

Перед нами уравнение, утверждающее, что скорость изменения С(х) — амплитуды того, что электрон будет обнаружен в х— зависит от амплитуды того, что электрон будет обнаружен в близлежащих точках так, что эта скорость пропорциональна второй производной амплитуды по координате.

Правильное квантовомеханическое уравнение движения электрона в пустом пространстве впервые было открыто Шре­дингером. При движении по прямой оно имеет вид (14.12); надо только m_эфф заменить на m — массу электрона в пустом про­странстве. При движении по прямой в пустом пространстве уравнение Шредингера имеет вид

Мы не хотим, чтобы вы считали, будто мы сейчас вывели уравнение Шредингера; мы только показываем вам один из способов, каким его можно осмыслить. Когда Шредингер впер­вые написал его, он привел какой-то вывод, опиравшийся на эвристические доводы и блестящие интуитивные догадки. Не­которые из его доводов были даже неверны, но это не имело значения; важно то, что окончательное уравнение дает правиль­ное описание природы. И цель нашего обсуждения состоит просто в том, чтобы показать вам, что правильное фундаментальное квантовомеханическое уравнение (14.13) имеет ту же самую форму, какая получается в предельном случае электрона, дви­жущегося вдоль цепочки атомов. Это значит, что можно считать, что дифференциальное уравнение (14.13) описывает диффузию амплитуды вероятности от точки к точке вдоль прямой. Иначе говоря, если электрон имеет некоторую амплитуду того, что он будет в одной точке, то чуть позже у него появится амплитуда того, что он будет в близлежащих точках. Уравнение дейст­вительно напоминает уравнения диффузии, которыми мы поль­зовались в начале курса. Но есть и одно важное отличие: мни­мый коэффициент перед производной по времени приводит к по­ведению, в корне отличному от обычной диффузии (например, от диффузии газа, распространяющегося по длинной трубе). Обычная диффузия приводит к действительным экспоненциаль­ным решениям, а решения (14.13) суть комплексные волны.

§ 2. Волновая функция

Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проб­лему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратить­ся к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной части­цы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным мно­жеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют неко­торых технических видоизменений.

Начнем с того, что вектором состояния |х>обозначим со­стояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния |х>в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |y>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплиту­ды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний |x>. Надо задать бесконечную совокупность ампли­туд, по одной для каждого х. Запишем их в виде <x|y>. Каж­дая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда <x|y> является в действительности просто функцией х. Запи­шем ее также в виде С (х):

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерыв­ным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импуль­сом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x, такова:

<x|y> = С (x) ~e^+ipx/h. (14.15)

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответст­вующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями опреде­ленного импульса. В некоторых задачах состояния определен­ного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И лю­бая другая система базисных состояний также годится для опи­сания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний |х>.

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С (х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |y>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С (х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С_y(х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом y для опреде­ления функции