В погоне за красотой

Угол N, конечно, больше <А. Мы это уже только что доказали.

И здесь озарение! <N = <С_вн как вертикальные.

Все.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним. Мы доказали это, и теперь оговорку в скобке в конце 36-й страницы можно зачеркнуть.

Если внимательно и дотошно проанализировать весь путь… Если проверить, какие аксиомы мы использовали для доказательства теоремы о внешнем угле… А для этого надо, конечно, проверить и те аксиомы, что были использованы при доказательствах теорем о равенстве треугольников и равенстве вертикальных углов.

Если все это проделать, то окажется, что практически мы использовали почти все аксиомы.

Но нигде, нигде по пути мы не использовали ни самого понятия о непересекающихся (параллельных) прямых, ни (тем более!) теорем или аксиом о таких прямых.

В этом каждый может без труда убедиться, вооружившись списком аксиом и проанализировав все Понятия, необходимые для теоремы о внешнем угле и всех вспомогательных теорем.

Наш экскурс уже затянулся; пора вернуться к аксиомам.

Во-первых, установим, каким логическим требованиям они должны удовлетворять.

Требований всего два:

1) полнота;

2) независимость.

Первое означает, что аксиом должно быть достаточно, чтобы доказать или опровергнуть любое возможное утверждение о наших первичных Основных Понятиях или о более Сложных Понятиях, образованных из первичных.

Второе — что мы не переусердствовали с выбором аксиом. Их у нас ровно столько, сколько надо. И ни одна из этих наших аксиом не может быть доказана либо опровергнута с помощью других.

Оба эти требования можно сформулировать в одной фразе. Аксиом должно быть необходимо и достаточно.

Необходимость — это требование полноты.

Достаточность — требование независимости.

Совсем-совсем грубо говоря, требования необходимости и достаточности означают, что аксиом должно быть ровно столько, сколько нужно. Не больше и не меньше.

Теперь можно сделать очень важное уточнение.

Из независимости аксиом сразу следует их непротиворечивость. Действительно, если, развивая геометрию, на каком-то этапе мы получим теорему, противоречащую остальным, то это будет неприятным сигналом, что в фундаменте что-то неладно. Именно: одна (или несколько) аксиом противоречат остальным.

Но если противоречат — значит не независимы.

Все эти логические рассуждения, в сущности, предельно просты. Но с первого чтения они могут показаться затруднительными. Лучшее, что можно порекомендовать в этом случае, — прочесть еще раз.

А пока же еще раз подчеркнем, что требование независимости аксиом сильнее, жестче, чем требование непротиворечивости.

Аксиомы могут быть непротиворечивы, но из непротиворечивости еще не ясно, не есть ли какая-нибудь из них следствие остальных, не теорема ли она. И естественно, предлагая любую систему геометрических аксиом, математик обязан доказать их независимость! Здесь мы временно оборвем все наши рассуждения. И время и случай вернуться к ним у нас будут. И могу поручиться, мы не упустим случая и не потеряем время.

Хотя все, что написано чуть раньше, довольно просто, и, смею надеяться, читатели разделяют это мнение, Евклид всего этого не знал. Вообще-то интуитивно он чувствовал все это, но оформить в четкую логическую схему не мог.

А строгая постановка проблемы независимости аксиом, или строгое введение Основных Понятий, вообще была недоступна не только грекам, но и математикам всех эпох и народов вплоть до XIX столетия.

И аксиоматика и доказательства Евклида на деле — довольно пестрая смесь интуиции и логических пробелов, если… оценить с нынешних позиций.

Но, с другой стороны, Евклид так резко и значительно продвинулся на пути к строгой логике, что все остальные учебники, все прочие «начала», имевшие хождение в древности, бесповоротно и окончательно померкли перед «Началами».

И если, вспоминая Гомера, греки полагали лишним называть его имя, а говорили просто — «поэт», то Евклида называли «творец «Начал».

Все предшественники его на дедуктивном пути построения геометрии были забыты.

Были «Начала», и был их творец — Евклид.

И хотя тринадцать книг, написанных Евклидом, содержали, как полагают, в основном чужие результаты, и потому иногда дебатируют — можно ли причислять его к величайшим математикам, — величайшим педагогом он был бесспорно. Добавим еще, что, как видно, был он исключительно увлекающимся своим делом и разносторонним ученым, ибо, помимо «Начал», он написал: «Начала музыки», «Оптику», «Клатоптрику», «Данные», «Феномены» (это работа по астрономии), «Гармонические правила»; затем работы, дошедшие до нас и исчезнувшие: «Поризмы» (в трех книгах), «Конические сечения» (в четырех книгах), «Перспектива» (в двух книгах), «Места на поверхности», «О делении» и «О ложных представлениях».

Список весьма достойный.

Большинство книг, правда, неоригинальны по содержанию, но работа проделана колоссальная. Кстати, книгу «Данные» исключительно ценил сам Ньютон, а это довольно солидная рекомендация. Сам он, по-видимому, существенно продвинул сложнейший, интереснейший раздел греческой геометрии — учение о конических сечениях. Но не включил эти результаты в «Начала», поскольку существовало мнение, что эта область недостойна «чистой математики, цель которой — приблизить человека к божеству».

Почему именно теория конических сечений не приближала к божеству, установил все тот же Платон. Дело в том, что использование в геометрии каких-либо инструментов, кроме циркуля и линейки, или — что эквивалентно — использование геометрических мест точек, помимо окружности и прямой (а такие геометрические места требовались при изучении конических сечений), он полагал ересью. И со всей страстью он предавал анафеме великолепного геометра Менехма (своего друга, между прочим), который показал, что решение пресловутой задачи об удвоении куба, так же как трисекции угла, довольно просто найти, если использовать новые геометрические инструменты.

Платон утверждал, что все это «губит и разрушает благо геометрии, так как при этом она уходит от бестелесных и умопостигаемых вещей к чувственным и пользуется телами, нуждающимися в применении орудий пошлого ремесла».

Очевидно, такая отповедь устрашила беднягу Евклида, а его работа «О конических сечениях» бесследно исчезла для нас.

В «Началах» ему как будто принадлежит нечто в учении о правильных многогранниках. В XIII книге доказывается, что существует всего пять различных типов таких тел. Это блестящий, неожиданный, знаменитый… короче — классический результат.

Вообще-то в «Началах» рассказывается не только о геометрии. В них есть и элементы теории чисел и геометрическая теория иррациональных величин. Три последние книги посвящены стереометрии. И каждому разделу предшествуют аксиомы и постулаты.

Собственно, планиметрии отведено шесть первых книг. И самая первая начинается с аксиом и постулатов.

Историки математики до сих пор не могут окончательно договориться, как именно Евклид различал аксиомы и постулаты.

В общем у Евклида аксиомы (он сам называет их «общие достояния нашего ума») — истины, относящиеся к любым (а не только к геометрическим) объектам. Например, если А равно С и В равно C, то А равно В. Здесь А и В могут быть числа, отрезки, веса тел, треугольники…

Постулаты же — чисто геометрические аксиомы. Например, первый постулат Евклида: «От каждой точки ко всякой другой точке можно провести прямую линию».

Есть у Евклида и Основные Понятия.