Открытие без границ. Бесконечность в математике

Плотность

В великих культурах Античности, особенно древнегреческой, числам придавалось метафизическое значение. Видение мира было неразрывно связано с применявшейся системой счисления. В контексте нашего обсуждения под числами мы обычно будем понимать натуральный ряд 1, 2, 3, …, поскольку дроби в древности считались не числами в современном смысле слова, а лишь отношениями между величинами или отношениями подобия между геометрическими фигурами. Здесь необходимо прояснить один аспект, напрямую связанный с бесконечностью: если всё сущее можно выразить с помощью чисел, их должно быть достаточно много, чтобы ими можно было обозначить всё, что нам уже известно и что ещё предстоит узнать.

В этом смысле последовательность натуральных чисел нас полностью устраивает, так как её можно продолжать бесконечно. Тем не менее последовательность дробных чисел обладает свойством, которое отсутствует у целых чисел и к которому древнегреческие математики относились с долей недоверия, а именно плотностью.

Между двумя последовательными целыми числами не существует никаких других целых чисел. Например, между 6 и 7 «не поместится» никакое другое натуральное число, которое должно быть больше 6 и меньше 7. Однако если мы добавим к множеству натуральных чисел дробные числа, это правило перестанет выполняться. Так, число

будет находиться между 6 и 7.

Аналогичным образом можно найти число, расположенное между любыми другими двумя числами. Если даны два числа А и В, то обязательно будет выполняться соотношение

Однако для этого необходимо, чтобы последовательность чисел, с которой мы работаем, содержала дробные, или рациональные, числа.

Так как описанные выше действия можно повторять бесконечно, можно утверждать, что между двумя любыми рациональными числами всегда будет располагаться бесконечно много других рациональных чисел. Именно в этом и заключается свойство плотности, о котором мы говорим. Плотность делает бессмысленным понятие «следующего» числа. Говоря о множестве натуральных чисел, можно смело утверждать, что за числом 12 следует 13, однако на множестве рациональных чисел говорить о числе, следующем за N, не имеет смысла: если таким числом является М, то всегда существует число

идущее перед М.

Плотность отражает понятие бесконечности с непривычной стороны. Приведём пример из геометрии. Когда мы представляем себе прямую, мы считаем, что она продолжается бесконечно с обоих концов. В нашем представлении эта прямая бесконечно велика. Аналогом дробных чисел из предыдущего примера будут точки на отрезке прямой: между двумя точками всегда находится третья, и число точек отрезка также бесконечно велико.

Дискретное и непрерывное

Толковый словарь русского языка даёт слову «дискретный» такое определение: «прерывистый, дробный, состоящий из отдельных частей», что схоже с определением дискретной величины в математике: «величина, принимающая конечное число отдельных значений, например число деревьев в лесу, число солдат в армии и пр.».

Как вы увидите чуть позже, упоминание «отдельных частей» отсылает нас к высшим разделам математики, так как нужно очень чётко определить значение слова «отдельный», что сделать не так просто, как может показаться.

Чтобы лучше разобраться во всех тонкостях бесконечности (как бесконечно больших, так и бесконечно малых величин), нужно чётко понимать значение понятий «непрерывное» и «дискретное». Рассмотрим разницу между ними на простом примере. Представьте себе два одинаковых сосуда, в одном из которых находится вода, а в другом — небольшие пластиковые шарики. Перельём содержимое первого сосуда в кувшин. Мы увидим, как течёт жидкость и как постепенно уровень воды в кувшине поднимается. Если мы будем пересыпать в кувшин шарики, всё будет выглядеть и восприниматься совершенно иначе: мы будем видеть, как шарики по одному падают в кувшин. Разница между первым и вторым случаем будет заметна не только на глаз, но и на слух: в первом случае звук будет непрерывным, во втором мы сможем различить звук, издаваемый каждым шариком при падении в кувшин.

В первом случае мы имеем дело с непрерывным процессом, во втором случае — с дискретным.

Рассмотрим другой пример: с 9 утра до 9 вечера время течёт непрерывно.

Но если мы посмотрим на расписание поездов, которые отправляются с 9 утра до 9 вечера, то увидим дискретное множество значений. Если один поезд отправляется в 10 утра, а следующий — в 11, то между значениями 10 и 11 нет никаких других, то есть эти значения дискретны. Напротив, течение времени между 10 и 11 часами непрерывно, и время может равняться, например 10 часам 25 минутам и 0,34628761720041244474 секунды.

Можно подумать, что понятия дискретного и непрерывного достаточно просты и интуитивно понятны. Тем не менее на протяжении многих лет они были предметом жарких споров: с одной стороны, они вовсе не просты, а с другой — потому что, как вы увидите чуть позже, интуиция не всегда хороший советчик, так как один и тот же предмет может казаться нам дискретным или непрерывным в зависимости от масштаба наблюдений.

Споры о дискретном и непрерывном вращаются вокруг понятия бесконечности, поэтому неудивительно, что они протекают скорее в философской плоскости, подобно противостоянию между пифагорейской и элейской школами в Древней Греции, которое ярче всего проявилось в парадоксах Зенона.

Ключевой вопрос состоит в том, является наш мир дискретным или непрерывным. Ответ на него очень сильно зависит от наших ощущений и, как следствие, лежит в плоскости теории познания. Не предаваясь философским размышлениям и не углубляясь в психологию, в начале XX века физики и математики сделали свой выбор в пользу концепции дискретного мира: появилась квантовая механика и так называемая дискретная математика.

Как обмануть время

Говорят, что важнейшее различие между наукой и технологией состоит в том, что первая меняет наше видение мира, вторая — наш образ жизни в этом мире. Можно утверждать, что изобретение механических часов стало одним из ключевых моментов в истории человечества и оказало наибольшее влияние на жизнь людей. Кроме того, благодаря часам, в создании которых математика сыграла определяющую роль, время перестало быть непрерывным и превратилось в дискретный ряд интервалов.

Первые механические часы появились в XIV веке (в Китае — в X веке), и сегодня они считаются устаревшими. Стрелки этих часов приводились в движение противовесом, который опускался под действием силы тяжести. Противовес подвешивался на верёвке, намотанной на цилиндр, при движении противовеса цилиндр вращался и приводил в действие часовой механизм. У первых часов не было ни циферблата, ни стрелок, и время отмерялось ударами колокола. Мы говорим, разумеется, о больших городских часах. Во многих языках слово «часы» также означает «колокол», как, например, английское clock или французское cloche. В колокола бил звонарь, который следил за ходом времени.

Само собой разумеется, что точность этих часов оставляла желать лучшего, но не из-за несовершенства часовых механизмов, а из-за действия законов элементарной физики. Противовес, который приводил в движение механизм, опускался неравномерно: под воздействием силы тяжести его скорость постепенно возрастала.

Эту проблему удалось решить с помощью остроумного изобретения — часового спуска.

Он состоял из зубчатого колеса, анкера и маятника. Анкер одним концом цеплялся за колесо и раскачивался под действием маятника. Так появились знакомые всем нам звуки «тик-так», обозначающие интервалы времени, которым подчиняется жизнь большинства людей.