Занимательная математика

Георгий Гамов, Марвин Стерн

Заниметельная математика

George Gamow. Marvin Stern

PUZZLE-MATH

London

MacMillan & Co Ltd

1958

Перевод с английского Ю. А. Данилова

Рисунки Ребекки Файлз

Графика Георгия Гамова

Предисловие к русскому изданию

Жанр занимательной науки давно известен и любим в России. Предлагаемая вниманию читателя книга известного физика и популяризатора науки Георгия Антоновича Гамова (1904–1968) и сотрудника американской авиастроительной фирмы «Конвэр» Марвина Стерна — признанная жемчужина жанра. Она привлекает внимание оригинальностью, неожиданностью и красотой задач, сюжеты которых заимствованы авторами из научного фольклора, подсказаны учеными-коллега- ми, известными (астрофизиком Виктором Амазасповичем Амбарцумя- ном, специалистом по аэро- и гидродинамике Теодором фон Карманом и биохимиком Альбертом Сент-Дьерди) и не очень, а в большинстве своем придуманы авторами как бы специально для читателя.

Все задачи представлены в такой беллетризованной форме, что их с удовольствием могут (и, несомненно, будут) читать даже те, кто не любит математику. Никакой назидательности — полная благожелательность по отношению к читателю, юмор и блеск изложения отличают всю книгу от первой до последней страницы.

На русском языке книга Георгия Гамова и Марвина Стерна издается впервые.

1 марта 1999 г

Ю. Данилов

Пролог. Как появилась на свет эта книга

Летом 1956 года одному из нас (Г. Г.) приходилось часто бывать в Сан-Диего (Калифорния) в качестве консультанта самолетостроительной фирмы «Конвэр», в которой в качестве постоянного сотрудника работал другой из авторов (М.С.). Нам приходилось обсуждать множество (секретнейших!) проблем, а поскольку рабочий кабинет одного из нас (М. С.) находился на шестом этаже главного здания и был более комфортабельным, другой из нас (Г. Г.) обычно садился в лифт на втором этаже, где находился его рабочий кабинет. Для этого один из нас (Г. Г.) шел к лифту на втором этаже и нажимал кнопку, и первым обычно приходил лифт, который шел не в том направлении, которое было нужно, т. е. шел вниз. Примерно в пяти случаях из шести первым приходил лифт, который шел вниз, и только в одном случае — лифт, который шел вверх

— Послушайте, — сказал один из нас (Г. Г.) другому (М. С.), — вы что, непрерывно изготовляете на крыше новые лифты и спускаете их на склад в подвале?

— Что за нелепая идея! — возмутился другой (М.С.). — Разумеется, ничего такого мы не делаем. Предлагаю вам подсчитать, сколько раз первым приходит лифт, идущий в нужном вам направлении, когда вы покинете мой кабинет на шестом этаже и будете возвращаться к себе на второй этаж.

Через несколько недель разговор снова зашел о лифтах, и один из нас (Г. Г.) вынужден был признать, что его первое замечание относительно лифтов было лишено смысла. Ожидая вызванного лифта на шестом этаже, он обнаружил, что примерно в пяти случаях из шести первым приходил лифт, идущий вверх, а не вниз. И Г. Г. быстро предложил объяснение этому загадочному явлению, противоположное первому: должно быть, компания «Конвэр» строила лифты в подвале и посылала готовые лифты на крышу, откуда производимые компанией самолеты доставляли их к месту назначения.

— Позвольте, — прервал его другой (М. С.), — я и не знал, что наша компания занимается производством лифтов… Разумеется, — продолжал он, — настоящее объяснение очень просто. Но позвольте мне прежде заметить, что если бы я и не знал, сколько этажей в этом здании, то теперь, располагая той информацией, которую вы мне сообщили, смог бы сказать, что в здании семь этажей.

— Но я ничего не говорил о высоте здания. Я только сообщил вам о том, с какими трудностями сталкиваюсь, поджидая лифт, идущий в нужном мне направлении.

— Верно, но разве вы не понимаете, что это классическая задача, которая лишь наглядно показывает, чем частота отличается от фазы?

Поразмыслив немного, мы нашли решение задачи (его вы найдете в истории «Проходящие поезда», стр. 48–51), но наши беседы позволили нам выяснить одно немаловажное обстоятельство: оказалось, что мы оба очень любим различного рода математические задачи-головоломки и каждый из нас знает превеликое множество их.

Поэтому мы решили собрать такие задачи в небольшой книжке, изложив каждую задачу в форме короткой истории. Та часть каждой истории, которая содержит условия задачи, напечатана обычным шрифтом, а та, которая содержит решение и ответ, — курсивом. Те из читателей, которые захотят испробовать свои силы и умение в решении задач-головоломок, должны прекращать чтение там, где начинается курсив.

Желаем удачи!

Лондеролл, Вудз Хоул, Массачусетс

М. Стерн, Г. Гамов

1. Великий султан

Двенадцать и одна

Великий султан Квазиабабии ибн-аль-Каз сидел в своей сокровищнице, с удовольствием взирая на выстроенные в ряд у стены двенадцать больших кожаных мешков, набитых большими серебряными монетами. В мешках были подати, собранные эмиссарами султана в двенадцати провинциях, которыми он правил. На каждом мешке было отчетливо написано имя сборщика податей — эмиссара соответствующей провинции. Одна монета весила целый фунт [1], а так как все мешки были почти полными, то серебра было собрано много.

Внезапно дверь в сокровищницу отворилась, и стража ввела какого- то человека в лохмотьях, который бросился перед султаном на колени.

— Государь, — воскликнул он, воздев руку, — я пришел, чтобы сообщить тебе нечто очень важное.

— Говори, — повелел ибн-аль-Каз.

— Я состою на службе у одного из твоих эмиссаров, о, государь, и как твой верноподданный хочу сообщить о совершенном им предательстве и злодеянии. В мешке с присланными им податями каждая монета содержит на целую унцию меньше серебра, чем положено. Я сам был одним из тех, кто тер монеты грубой тканью до тех пор, пока каждая из них не полегчает ровно на одну унцию серебра. А поскольку мой хозяин несправедливо обошелся со мной, я решил поведать тебе истину.

— Кто твой хозяин? — спросил ибн-аль-Каз, грозно нахмурясь, — клянусь Аллахом, что завтра же ему отрубят голову, а ты получишь большую награду!

— Мой хозяин… — начал было человек в рубище. Но в этот момент кинжал, брошенный чей-то рукой, просвистел в воздухе и поразил говорившего в спину. Тот упал замертво.

Возможно, кому-нибудь покажется несложным делом определить, в котором из двенадцати мешков содержатся облегченные монеты, если бы у султана были достаточно точные весы, которые позволили бы отличить полновесные монеты в 16 унций серебра и облегченные монеты в 15 унций серебра. У султана, действительно, были такие весы, и он их очень любил. Их изготовил по его заказу лучший специалист по точным измерительным приборам в Соединенных Штатах Америки, и были они сделаны по образу и подобию весов, которые в этой высокоразвитой индустриальной стране встречаются буквально на каждом шагу. У весов была платформа, на которую ставили взвешиваемый груз, и прорезь, в которую нужно было опустить монету в один пенни. Вместо того чтобы показывать вес стрелкой на шкале, весы отпечатывали чек с указанием точного веса в фунтах и унциях и полным предсказанием судьбы на обороте. Беда была в другом: среди всех сокровищ у султана ибн-аль-Каза была только одна американская монетка достоинством в один пенни. На платформу весов султан мог выложить серебряные монеты из всех мешков в любом ассортименте, но получить он мог только один чек с напечатанным точным весом всех монет на платформе.