Занимательная математика

— Я знал, что когда дело дойдет до денег, я смогу показать тебе, что разбираюсь в своем деле.

— Никогда в этом не сомневался, — заверил отца Сэм-младший. — Я только хотел обратить твое внимание на некоторые тонкости в простейших понятиях теории вероятностей. В том деле, которым ты занимаешься, приходится думать не только о вероятностях, но и о многом другом, например основательно разбираться в теории игр: ведь то, что ты делаешь, по существу сводится к разработке стратегий.

— Ничего подобного! — запротестовал Сэм-старший. — Просто у меня большой опыт в тех делах, которыми я занимаюсь, только и всего.

— Никто не спорит и не ставит под сомнение, что ты можешь действовать интуитивно. Но твои приемы есть не что иное как методы теории игр. Если не возражаешь, я попытаюсь продемонстрировать это на очень простом примере.

Предположим, что мы играем с тобой в нехитрую игру. Каждый из нас бросает свою монету. Если обе монеты выпадают вверх орлами или вверх решками, то выигрываешь ты. Если монеты выпадают по-разному, одна вверх орлом, другая вверх решкой, то выигрываю я, причем безразлично, чья именно монета выпадает вверх орлом, а чья — вверх решкой. А теперь сделаем игру более интересной.

Если выигрываешь ты, то я плачу тебе 9 пенсов за два орла и 1 пенс за две решки. Если же выигрываю я, то при любом раскладе, т. е. независимо от того, выпадает ли комбинация «орел-решка» или «решка- орел», ты платишь мне 5 центов.

Перед игрой и даже во время игры ты можешь как угодно менять свои монеты на фальшивые.

Как видишь, все сказанное делает игру с бросанием монет гораздо интереснее. Она позволяет выработать удобную стратегию. Поскольку наибольший выигрыш тебе сулит выпадение комбинации «орел-орел», ты можешь предпочесть заменить свои монеты такими, которые чаще выпадают вверх орлом. Но поскольку мне об этом известно, я могу пойти на замену своих монет такими, которые чаще выпадают вверх решкой, так как я выигрываю при выпадении комбинаций «орел-решка» и «решка-орел».

Таким образом, перед каждым из нас возникает проблема: как лучше всего построить схему замены своих монет фальшивыми, если известно, что партнер вырабатывает для себя аналогичную схему.

— Что и говорить, звучит заманчиво, — вынужден был признать Сэм. — Так как в среднем я мог бы каждый раз выиграть среднее между девятью центами и одним центом, а ты — среднее между пятью и пятью центами, т. е. столько же, сколько и я, мы имеем равные шансы на выигрыш, и я считаю игру честной. Я готов сыграть с тобой и уверен, что сумею заменить свои монеты фальшивыми так, чтобы перехитрить тебя и научить хотя бы немного уважать старших.

Сэм-младший покачал головой.

— Не сердись, но я не возьму твоих денег. Дело в том, что игра, которую я тебе предлагаю, мошенническая: я могу выбрать такую стратегию замены монет фальшивыми, что при достаточно длинной серии бросаний ты можешь лишь надеяться свести проигрыш до минимума. Но ты непременно проиграешь, а я выиграю. Более того, я могу математически вычислить, какую долю бросаний у меня составит выпадение орла независимо от того, выпадает у тебя орел или решка. И из вычислений я могу узнать, сколько смогу выиграть при достаточно длинной серии бросаний.

Я покажу тебе, как производятся такие вычисления, хотя ты можешь поверить мне на слово. Просто мне кажется, что тебе будет интересно. Вот как это делается.

Напомню, что я хочу вычислить долю бросаний, в которых у меня должен был бы выпасть орел. Обозначим ее через

Рассмотрим сначала, что происходит, когда у тебя выпадают орлы. Всякий раз, когда моя монета падает вверх орлом и у тебя выпал орел, я теряю 9 центов. Так как доля орлов составляет

Таким образом, если я запишу мою полную платежную функцию для тех случаев, когда у тебя выпадают орлы, то она окажется

или просто

Вот ее график:

Рассмотрим теперь, что происходит, когда у тебя выпадают решки. Действуя так же, как прежде, я получаю платежную функцию

Накладывая оба графика один на другой, мы находим, что они пересекаются при

Это означает, что если я заменю 3/10 моих монет на фальшивые и случайным образом распределю фальшивые монеты среди моих монет, то в достаточно длинной серии бросаний я буду в среднем выигрывать 0,6 цента всякий раз, когда твоя и моя монеты выпадут обе либо вверх орлами, либо вверх решками.

Дни рождения

— Придумано хитро, хотя, должен признаться, я никак не возьму в толк, как же все получается, — признался Сэм-старший. — Сегодня вечером я собираюсь заглянуть в клуб. Кстати, нет ли у тебя подходящей математической задачки с неожиданным решением? Мне бы хотелось немного позабавиться и позабавить членов клуба.

— Как не быть! — улыбнулся Сэм-младший. — Но сначала скажи мне, пожалуйста, сколько членов клуба соберется сегодня вечером.

— Человек эдак тридцать, — прикинул Сэм-старший.

— Великолепно! Дело в том, что я хочу рассказать тебе об одной задаче о днях рождения, а для нее людей должно быть достаточно много. Представь себе, что тебе известны дни рождения всех членов клуба, которые соберутся сегодня, какова по-твоему вероятность совпадения дней рождения двух членов клуба? Под днем рождения я имею в виду не год, а только месяц и день.

— Мне кажется, что вероятность совпадения дней рождения у двух из тридцати случайным образом собравшихся людей должна быть что- нибудь около 0,05, но я готов держать пари из расчета 5 к 1.

— Охотно принимаю пари, — согласился Сэм-младший, — а заодно предлагаю тебе заключить пари с кем-нибудь из членов клуба. Даже если кто-нибудь из них предложит тебе пари из расчета 1 к 1, то рекомендую тебе принять такое пари.

— А вот этого я решительно не понимаю! — воскликнул Сэм- старший.

— Между тем перед тобой один из примеров того, что мы называем «мультипликативной природой независимых вероятностей». Ты опрашиваешь членов клуба об их днях рождения до тех пор, пока чей- нибудь день рождения не повторится, и в худшем случае тебе придется опросить всех тридцать членов клуба. Так как опрос продолжается только в том случае, если день рождения очередного члена клуба не совпадает с днем рождения ни одного из ранее опрошенных членов клуба, вероятности, которые требуется перемножить, — это вероятности несовпадения дня рождения каждого из вновь опрошенных. А вероятность совпадения дней рождения, разумеется, равна единице минус полученная вероятность несовпадения дней рождения.